Classifique a equação diferencial e resolva o PVI
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é um problema com uma condição inicial. A equação dada é:
Aqui, trabalharemos com Equações Diferenciais de Bernoulli, que são do tipo:
Vamos identificar os componentes e preparar o que precisamos para resolver.
Passo 2
Primeiramente, vamos identificar os termos da equação para ver se ela se encaixa na forma de Bernoulli. Comparando com a forma geral:
Ótimo, nossa equação é uma equação de Bernoulli com
.
Passo 3
Agora, vamos transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear. Para isso, fazemos uma substituição:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Mas como
, temos:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante
:
Como
(pela condição inicial), podemos ignorar o valor absoluto:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Isolamos
:
Simplificando:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Elevando ambos os lados à quarta potência:
Resposta
A solução do problema é:
ou simplificando:
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, verifique se a solução encontrada está correta.
Resolva as seguintes equações diferenciais.
Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
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