Classifique a equação diferencial e resolva o PVI .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é um problema com uma condição inicial. A equação dada é:
Aqui, trabalharemos com Equações Diferenciais de Bernoulli, que são do tipo:
Vamos identificar os componentes e preparar o que precisamos para resolver.

Passo 2

Primeiramente, vamos identificar os termos da equação para ver se ela se encaixa na forma de Bernoulli. Comparando com a forma geral:
Ótimo, nossa equação é uma equação de Bernoulli com .

Passo 3

Agora, vamos transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear. Para isso, fazemos uma substituição:
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão de :
Simplificando:
Mas como , temos:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante :
Como (pela condição inicial), podemos ignorar o valor absoluto:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por :
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvemos para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Isolamos :
Simplificando:

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Elevando ambos os lados à quarta potência:

Resposta

A solução do problema é:
ou simplificando:

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