Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
, verifique se a solução encontrada está correta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de ordem superior. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Substituindo
, obtemos:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação característica:
Assim, as raízes são
(duas vezes) e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que
também seja um polinômio de segundo grau:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Derivando
:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso não faz sentido, pois um lado é constante e o outro é polinomial. Isso indica que nossa suposição para
precisa ser ajustada.
Passo 8
Como as soluções homogêneas são constantes e lineares, e não interferem com o lado direito, nossa suposição inicial estava correta. Vamos verificar novamente:
Na verdade, percebemos que a derivada terceira de
é zero, e a segunda derivada é constante. Isso implica que não há termos em
na parte homogênea da particular. Porém, para igualar os polinômios, devemos reconsiderar nossa abordagem. Vamos assumir uma solução particular da forma:
Passo 9
Substituindo novamente:
Então:
Claramente, isso não funciona porque os termos em
não podem ser igualados a um constante.
Passo 10
Isso significa que precisamos ajustar nossa suposição para
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular do mesmo grau:
Derivando e substituindo novamente resulta em uma inconsistência, então precisamos incluir termos de
na segunda derivada.
Passo 11
Na verdade, a forma adequada para a solução particular nesse caso é:
E ao substituirmos, vemos que não há termos em
na parte homogênea que interferem, então:
Como não há termos em
,
pode ser qualquer valor e
não afeta a equação. Portanto, podemos escolher
e
para simplificar.
Passo 12
Assim, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
e, ao substituir na equação original, verificamos que está correta.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais.
Considere
. Determinar
.
Classifique a equação diferencial e resolva o PVI
.
Resolva as equações diferenciais de ordem superior: