Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
, verifique se a solução encontrada está correta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de ordem superior. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Substituindo , obtemos:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Resolvendo a equação característica:
Assim, as raízes são (duas vezes) e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que também seja um polinômio de segundo grau:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Derivando :

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso não faz sentido, pois um lado é constante e o outro é polinomial. Isso indica que nossa suposição para precisa ser ajustada.

Passo 8

Como as soluções homogêneas são constantes e lineares, e não interferem com o lado direito, nossa suposição inicial estava correta. Vamos verificar novamente:
Na verdade, percebemos que a derivada terceira de é zero, e a segunda derivada é constante. Isso implica que não há termos em na parte homogênea da particular. Porém, para igualar os polinômios, devemos reconsiderar nossa abordagem. Vamos assumir uma solução particular da forma:

Passo 9

Substituindo novamente:
Então:
Claramente, isso não funciona porque os termos em não podem ser igualados a um constante.

Passo 10

Isso significa que precisamos ajustar nossa suposição para . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular do mesmo grau:
Derivando e substituindo novamente resulta em uma inconsistência, então precisamos incluir termos de na segunda derivada.

Passo 11

Na verdade, a forma adequada para a solução particular nesse caso é:
E ao substituirmos, vemos que não há termos em na parte homogênea que interferem, então:
Como não há termos em , pode ser qualquer valor e não afeta a equação. Portanto, podemos escolher e para simplificar.

Passo 12

Assim, a solução particular é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e, ao substituir na equação original, verificamos que está correta.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais.
Considere . Determinar .
Classifique a equação diferencial e resolva o PVI .
Resolva as equações diferenciais de ordem superior: