Resolva as equações diferenciais de ordem superior:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, a gente vai usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos uma solução do tipo . Substituindo na equação, a gente obtém a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o termo do lado direito é , que já aparece na solução homogênea. Então, para evitar duplicação, vamos supor uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

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Classifique a equação diferencial e resolva o PVI .
Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio. (a)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a)