Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, a gente vai usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação, a gente obtém a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o termo do lado direito é
, que já aparece na solução homogênea. Então, para evitar duplicação, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
Classifique a equação diferencial e resolva o PVI
.
Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio. (a)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a)
a)