Resolva as seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente tentando encontrar uma função que satisfaça essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para equações homogêneas, que nos ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar isolado. A equação original é:
Vamos mover o termo para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Observando a equação resultado:
Notamos que tanto o numerador quanto o denominador são expressões homogêneas de primeiro grau. Isso significa que podemos usar uma substituição para simplificar a equação. A ideia é introduzir uma nova variável que relacione e de forma a tornar a equação mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação original:
Substituindo e :
Simplificando os termos:
Os se cancelam:

Passo 6

Vamos agora isolar :
Para simplificar o lado direito, colocamos tudo sob um denominador comum:
Fatorando o numerador:
Então, temos:
Agora, vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser simplificada por decomposição em frações parciais. Para facilitar, vamos reescrever o denominador:
Então, a integral fica:
Resolvendo a integral:
Do lado esquerdo:
Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para e :
Multiplicamos ambos os lados por :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:
Portanto, a integral fica:
Integrando ambos os lados:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação:
Podemos simplificar isso para deixar a solução mais bonita:
Multiplicando ambos os lados por :
Usando propriedades dos logaritmos:
Simplificando:
Onde é uma constante.
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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, verifique se a solução encontrada está correta.
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