Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
y^(4) - y'' = 0

Passo 1

Beleza! A gente tem aqui uma equação diferencial de ordem superior: . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, que estuda como resolver equações envolvendo derivadas de uma função. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar as soluções que satisfazem essa relação diferencial, usando a característica da equação para descobrir a forma geral da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica usando o método dos coeficientes constantes. Para isso, assumimos que as soluções têm a forma , onde é um número que vamos descobrir.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Podemos fatorar (que nunca é zero) e simplificar:

Passo 6

Resolvendo a equação característica :
Ou seja:

Passo 7

Resolvendo cada parte:
  1. com multiplicidade 2.
  2. e .

Passo 8

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das funções correspondentes:
Simplificando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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