Classifique a equação
ou
acima em circunferência, elipse, hipérbole, parábola, escreva-a na sua forma canônica reduzida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar a equação
ou
como sendo circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, e também para escrevê-la na forma canônica reduzida. Então, estamos trabalhando com Conic Sections (Seções Cônicas), que são curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma geral das equações das seções cônicas e como determinar qual tipo de seção temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma geral de uma equação de segunda grau em duas variáveis
e
é:
Aqui,
,
,
,
,
e
são coeficientes que determinam o tipo da cônica.
Passo 3
Para classificar a equação, usamos o discriminante das seções cônicas, que é dado por:
Esse discriminante nos ajuda a identificar qual tipo de cônica estamos lidando:
- Circunferência: Quando
e . - Elipse: Quando
e . - Parábola: Quando
. - Hipérbole: Quando
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à nossa equação
ou
. Supondo que estamos trabalhando com uma equação de segundo grau, precisamos identificar os coeficientes
,
, e
.
Por exemplo, se tivermos:
Vamos calcular o discriminante
e, com base nisso, classificar a cônica.
Passo 5
Vamos supor que os coeficientes da equação sejam conhecidos. Depois de calcular o discriminante, classificamos a cônica conforme explicado:
- Se
e , é uma elipse. - Se
e , é uma circunferência. - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma hipérbole.
Passo 6
Após a classificação, queremos escrever a equação na forma canônica reduzida. Isso envolve completar o quadrado e, possivelmente, fazer uma rotação das coordenadas para eliminar o termo
se
.
Por exemplo, para uma elipse:
Onde
é o centro da elipse, e
e
são os semieixos.
Resposta
Portanto, ao calcular o discriminante
da equação
ou
, podemos classificar a cônica como circunferência, elipse, parábola ou hipérbole e então reescrever a equação na sua forma canônica reduzida conforme os passos mencionados.