Classifique a equação g^prime(u, v):=0 ou g^prime prime(u, v):=0 acima em circunferência, elipse, hipérbole, parábola, escreva-a na sua forma canônica reduzida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar a equação ou como sendo circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, e também para escrevê-la na forma canônica reduzida. Então, estamos trabalhando com Conic Sections (Seções Cônicas), que são curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma geral das equações das seções cônicas e como determinar qual tipo de seção temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma geral de uma equação de segunda grau em duas variáveis Au^2 + Buv + Cv^2 + Du + Ev + F = 0 e é:
Aqui, , , , , e são coeficientes que determinam o tipo da cônica.

Passo 3

Para classificar a equação, usamos o discriminante das seções cônicas, que é dado por:
De
Esse discriminante nos ajuda a identificar qual tipo de cônica estamos lidando:
  • Circunferência: Quando e .
  • Elipse: Quando e .
  • Parábola: Quando .
  • Hipérbole: Quando .

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à nossa equação g^prime(u, v) = Au^2 + Buv + Cv^2 + Du + Ev + F = 0 ou . Supondo que estamos trabalhando com uma equação de segundo grau, precisamos identificar os coeficientes , , e .
Por exemplo, se tivermos:
Vamos calcular o discriminante e, com base nisso, classificar a cônica.

Passo 5

Vamos supor que os coeficientes da equação sejam conhecidos. Depois de calcular o discriminante, classificamos a cônica conforme explicado:
  • Se e , é uma elipse.
  • Se e , é uma circunferência.
  • Se , é uma parábola.
  • Se , é uma hipérbole.

Passo 6

Após a classificação, queremos escrever a equação na forma canônica reduzida. Isso envolve completar o quadrado e, possivelmente, fazer uma rotação das coordenadas para eliminar o termo (u - h)^2a^2 + (v - k)^2b^2 = 1 se .
Por exemplo, para uma elipse:
Onde é o centro da elipse, e e são os semieixos.

Resposta

Portanto, ao calcular o discriminante da equação ou , podemos classificar a cônica como circunferência, elipse, parábola ou hipérbole e então reescrever a equação na sua forma canônica reduzida conforme os passos mencionados.

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