Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|A B times A D| Resp:2 raiz3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um losango com lados de e o ângulo entre o lado e a diagonal maior é de . Precisamos calcular o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e trigonometria, especialmente a fórmula do produto vetorial em termos de magnitudes e o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um losango, os lados são todos iguais e as diagonais se cruzam formando ângulos que são a soma dos ângulos internos do losango. Sabemos que a diagonais de um losango também são perpendiculares e se bisectam.

Passo 3

Sabemos que o ângulo entre o lado theta = 2 times 30^circ = 60^circ e a diagonal maior é de . Em um losango, as diagonais bisectam os ângulos internos. Então, o ângulo interno no vértice é o dobro desse ângulo, ou seja:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o produto vetorial |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) . A fórmula para o módulo do produto vetorial entre dois vetores e é:
onde é o ângulo entre os vetores.

Passo 5

No nosso caso, |AB times AD| = 2 cdot 2 cdot sin(60^circ) e . Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 6

Sabemos que |AB times AD| = 4 cdot raiz32 = 2raiz3 . Então, substituindo:

Resposta

|AB times AD| = 2raiz3

Exercícios relacionados

(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b1=ldots=bm=0, e (ii) para um lado direito geral b1, ldots, bm ?
[lll1 & 4 & 3 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1]
Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
© V=x in R mid x>0, x+y=x y e k x=x^k.
(Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
[cc2 & -4 -1 & 2]
Classifique a equação g^prime(u, v):=0 ou g^prime prime(u, v):=0 acima em circunferência, elipse, hipérbole, parábola, escreva-a na sua forma canônica reduzida.