Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede . Sendo de o ângulo entre o lado e a diagonal maior , calcule: Resp:2 raiz3
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um losango com lados de e o ângulo entre o lado e a diagonal maior é de . Precisamos calcular o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e trigonometria, especialmente a fórmula do produto vetorial em termos de magnitudes e o ângulo entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um losango, os lados são todos iguais e as diagonais se cruzam formando ângulos que são a soma dos ângulos internos do losango. Sabemos que a diagonais de um losango também são perpendiculares e se bisectam.
Passo 3
Sabemos que o ângulo entre o lado theta = 2 times 30^circ = 60^circ e a diagonal maior é de . Em um losango, as diagonais bisectam os ângulos internos. Então, o ângulo interno no vértice é o dobro desse ângulo, ou seja:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o produto vetorial |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) . A fórmula para o módulo do produto vetorial entre dois vetores e é:
onde é o ângulo entre os vetores.
Passo 5
No nosso caso, |AB times AD| = 2 cdot 2 cdot sin(60^circ) e . Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 6
Sabemos que |AB times AD| = 4 cdot raiz32 = 2raiz3 . Então, substituindo: