Dados os vetores u=(1,1,0) e v=(-1,1,2), determinar:
Um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e a v;
Resp: (1raiz3,-1raiz3, 1raiz3) ou (-1raiz3, 1raiz3,-1raiz3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (1, 1, 0) e v = (-1, 1, 2), e o que a gente precisa é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal a ambos. Isso significa que esse vetor precisa ter um comprimento de 1 e formar um ângulo de 90 graus com u e v. Para isso, vamos usar o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é ortogonal aos dois originais. Então, vamos calcular u times v.

Passo 3

A fórmula do produto vetorial é dada por:
u times v = ( uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx )
Substituindo os valores de u e v:
u times v = ( 1 cdot 2 - 0 cdot 1, 0 cdot (-1) - 1 cdot 2, 1 cdot 1 - 1 cdot (-1) )
u times v = (2 - 0, 0 - 2, 1 + 1) = (2, -2, 2)

Passo 4

Agora que temos o vetor ortogonal w = (2, -2, 2), precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, vamos calcular o módulo de w.

Passo 5

O módulo de um vetor w = (wx, wy, wz) é dado por:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
Aplicando os valores:
|w| = raiz2^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Passo 6

Para obter o vetor unitário, dividimos cada componente de w pelo seu módulo:
u1 = ( 22raiz3, -22raiz3, 22raiz3 ) = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )
E também seu oposto:
u2 = ( -1raiz3, 1raiz3, -1raiz3 )

Resposta

Um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e a v é (1raiz3,-1raiz3, 1raiz3) ou (-1raiz3, 1raiz3,-1raiz3).

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