(Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o posto da matriz . O posto de uma matriz é um conceito da álgebra linear que indica o número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes na matriz. Para isso, vamos precisar entender como simplificar a matriz usando operações elementares de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa o posto. O posto (ou rank) de uma matriz é o número de linhas ou colunas que não são combinações lineares umas das outras. Em outras palavras, é a quantidade de informações “úteis” na matriz. Para descobrir isso, vamos simplificar a matriz até uma forma mais fácil de analisar, chamada de forma escalonada.
Passo 3
Vamos começar com a matriz original:
O primeiro passo é tentar criar um zero abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos somar a primeira linha à segunda linha para eliminar o na posição :
Veja que a segunda linha ficou toda zero. Isso significa que a segunda linha é uma combinação linear da primeira.
Passo 5
Com a matriz simplificada , só temos uma linha não nula. Isso indica que apenas uma linha (ou coluna) é linearmente independente. Portanto, o posto da matriz original é 1.