Classifique as equações abaixo quanto a ordem e a linearidade.
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Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer nesse exercício. Temos quatro equações diferenciais e precisamos classificá-las quanto à ordem e linearidade. Para isso, vamos entender o que cada termo significa e como identificar essas características em cada equação.
Passo 2
Vamos analisar a primeira equação:
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Determinar a Ordem:
A ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação. Aqui, temos , que é a derivada de primeira ordem. Portanto, a ordem dessa equação é 1.
A ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação. Aqui, temos
Verificar a Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde
são funções que dependem apenas de
e não de
ou suas derivadas. Além disso,
e suas derivadas não podem estar multiplicadas entre si ou ter expoentes diferentes de 1.
Na equação
, temos o termo
, que é um produto entre
e sua derivada. Isso torna a equação não linear.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda equação:
.
Determinar a Ordem:
Aqui, a derivada de segunda ordem está presente. Portanto, a ordem dessa equação é 2.
Aqui, a derivada de segunda ordem
Verificar a Linearidade:
Observando os termos:
Observando os termos:
Todos os termos são lineares em
e suas derivadas, e os coeficientes
,
e
dependem apenas de
. Não há produtos entre
e suas derivadas ou termos com
elevado a alguma potência. Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Vamos analisar a terceira equação:
.
Determinar a Ordem:
A derivada de segunda ordem está presente, então a ordem é 2.
A derivada de segunda ordem
Verificar a Linearidade:
Observamos o termo , que é
elevado ao quadrado. Isso torna a equação não linear, já que a equação não é de primeiro grau em
e suas derivadas.
Observamos o termo
Passo 5
Por último, vamos para a quarta equação:
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Determinar a Ordem:
A derivada de terceira ordem está presente, então a ordem é 3.
A derivada de terceira ordem
Verificar a Linearidade:
O termo é um produto entre
e sua derivada, o que torna a equação não linear.
O termo
Resposta
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– Ordem 1, não linear. -
– Ordem 2, linear. -
– Ordem 2, não linear. -
– Ordem 3, não linear.
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