Classifique as equações abaixo quanto a ordem e a linearidade.
  1. .

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer nesse exercício. Temos quatro equações diferenciais e precisamos classificá-las quanto à ordem e linearidade. Para isso, vamos entender o que cada termo significa e como identificar essas características em cada equação.

Passo 2

Vamos analisar a primeira equação: .
Determinar a Ordem:
A ordem de uma equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação. Aqui, temos , que é a derivada de primeira ordem. Portanto, a ordem dessa equação é 1.
Verificar a Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde são funções que dependem apenas de e não de ou suas derivadas. Além disso, e suas derivadas não podem estar multiplicadas entre si ou ter expoentes diferentes de 1.
Na equação , temos o termo , que é um produto entre e sua derivada. Isso torna a equação não linear.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação: .
Determinar a Ordem:
Aqui, a derivada de segunda ordem está presente. Portanto, a ordem dessa equação é 2.
Verificar a Linearidade:
Observando os termos:
Todos os termos são lineares em e suas derivadas, e os coeficientes , e dependem apenas de . Não há produtos entre e suas derivadas ou termos com elevado a alguma potência. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Vamos analisar a terceira equação: .
Determinar a Ordem:
A derivada de segunda ordem está presente, então a ordem é 2.
Verificar a Linearidade:
Observamos o termo , que é elevado ao quadrado. Isso torna a equação não linear, já que a equação não é de primeiro grau em e suas derivadas.

Passo 5

Por último, vamos para a quarta equação: .
Determinar a Ordem:
A derivada de terceira ordem está presente, então a ordem é 3.
Verificar a Linearidade:
O termo é um produto entre e sua derivada, o que torna a equação não linear.

Resposta

  1. Ordem 1, não linear.
  2. Ordem 2, linear.
  3. Ordem 2, não linear.
  4. Ordem 3, não linear.

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