Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a) y y' + t = 0.
(b) x^2 y'' + b x y' + c y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas equações diferenciais e precisamos classificá-las em relação ao tipo, ordem e linearidade. Para isso, vamos lembrar rapidinho o que cada termo significa:
  • Tipo: Geralmente, falamos se é uma equação diferencial ordinária (EDO) ou parcial (EDP). Aqui, como só temos derivadas em relação a uma variável, são EDOs.
  • Ordem: A ordem da equação é definida pela maior derivada presente nela. Por exemplo, se a maior derivada for a segunda, a equação é de segunda ordem.
  • Linearidade: Uma equação é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, não estão multiplicadas entre si nem passadas por funções não-lineares. Se houver produtos ou funções não-lineares, a equação é não linear.
Vamos analisar cada equação uma por uma.

Passo 2

Equação (a):
  1. Tipo: Como temos apenas derivadas de em relação a , é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).
  2. Ordem: A maior derivada presente é , que é a primeira derivada. Portanto, é uma equação de primeira ordem.
  3. Linearidade: Observe que está multiplicando , formando o termo . Esse produto entre e sua derivada torna a equação não linear.

Passo 3

Equação (b):
  1. Tipo: Só temos derivadas de em relação a , então é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).
  2. Ordem: A maior derivada aqui é , que é a segunda derivada. Assim, é uma equação de segunda ordem.
  3. Linearidade: Vamos checar os termos:
    • : O coeficiente multiplica a derivada, mas não há produtos entre derivadas ou potências de .
    • : Similarmente, multiplica a derivada linearmente.
    • : Termo linear.
    Não há produtos entre e suas derivadas nem funções não-lineares de . Portanto, a equação é linear.

Resposta

(a) Tipo: Equação Diferencial Ordinária, Ordem: 1, Linearidade: Não linear.
(b) Tipo: Equação Diferencial Ordinária, Ordem: 2, Linearidade: Linear.

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