Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dada:
y' = 4 e^(2 x) + 3 e^(-2 x) y = 4 se x = 0

Passo 1

Beleza! Você me enviou uma equação diferencial com uma condição inicial. Vamos resolver isso juntos. A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais simples e integração. Para resolver, vamos precisar integrar a função dada e usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar a função que, quando derivada, dá essa expressão.

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A integração desfaz a derivada.
Então,

Passo 4

Vamos integrar termo por termo.
  1. Integrando :
A integral de é . Aqui, .
  1. Integrando :
Aqui, .

Passo 5

Somando as integrais dos dois termos e adicionando a constante de integração :

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , .
Substituindo na equação:
Como :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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