Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dada:
Passo 1
Beleza! Você me enviou uma equação diferencial com uma condição inicial. Vamos resolver isso juntos. A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais simples e integração. Para resolver, vamos precisar integrar a função dada e usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a função
que, quando derivada, dá essa expressão.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a
. A integração desfaz a derivada.
Então,
Passo 4
Vamos integrar termo por termo.
- Integrando
:
A integral de
é
. Aqui,
.
- Integrando
:
Aqui,
.
Passo 5
Somando as integrais dos dois termos e adicionando a constante de integração
:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
.
Substituindo na equação:
Como
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Use a diferenciaçăo implicita para obter
.
Determine os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
e
.
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a) .
(b)
(a)
(b)
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: