Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dada:

Passo 1

Beleza! Você me enviou uma equação diferencial com uma condição inicial. Vamos resolver isso juntos. A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais simples e integração. Para resolver, vamos precisar integrar a função dada e usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar a função que, quando derivada, dá essa expressão.

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A integração desfaz a derivada.
Então,

Passo 4

Vamos integrar termo por termo.
  1. Integrando :
A integral de é . Aqui, .
  1. Integrando :
Aqui, .

Passo 5

Somando as integrais dos dois termos e adicionando a constante de integração :

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , .
Substituindo na equação:
Como :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use a diferenciaçăo implicita para obter .
Determine os valores de para os quais a função é solução da equação: e .
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a) .
(b)
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: