Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos o hodógrafo da função vetorial dada:

Estamos lidando com cinemática vetorial, especificamente com a análise do movimento através do hodógrafo, que é o gráfico da velocidade em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a velocidade vetorial a partir da posição e depois plotar essa velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a posição vetorial descreve onde o objeto está em cada instante de tempo . A velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo:

Então, vamos derivar cada componente da função .

Passo 3

Derivando a posição vetorial:

A derivada de cada componente:
- A derivada de em relação a é 0, porque é uma constante.
- A derivada de também é 0.
- A derivada de é .
Então, a velocidade vetorial é:

Passo 4

Agora que temos a expressão da velocidade, vamos entender o que significa o hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico da velocidade vetorial no espaço das velocidades. Aqui, nossa velocidade é constante e igual a , ou seja, a velocidade não muda com o tempo.

Passo 5

Como a velocidade é constante e sempre aponta na direção de , o hodógrafo será simplesmente um ponto fixo no espaço das velocidades. Não há variação da velocidade para esboçar uma curva.

Resposta

O hodógrafo dessa função vetorial é um ponto fixo no espaço das velocidades, localizado em .

Exercícios relacionados

Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a) .
(b)
Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dada:
Esboçar a trajetória de uma partícula , sabendo que seu movimento é descrito por:
Sendo ,
caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo . Justifique a sua resposta.