Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos o hodógrafo da função vetorial dada:
Estamos lidando com cinemática vetorial, especificamente com a análise do movimento através do hodógrafo, que é o gráfico da velocidade em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a velocidade vetorial a partir da posição e depois plotar essa velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a posição vetorial
descreve onde o objeto está em cada instante de tempo
. A velocidade vetorial
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, vamos derivar cada componente da função
Passo 3
Derivando a posição vetorial:
A derivada de cada componente:
- A derivada de
- A derivada de
- A derivada de
Então, a velocidade vetorial é:
Passo 4
Agora que temos a expressão da velocidade, vamos entender o que significa o hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico da velocidade vetorial
no espaço das velocidades. Aqui, nossa velocidade é constante e igual a
, ou seja, a velocidade não muda com o tempo.
Passo 5
Como a velocidade é constante e sempre aponta na direção de
, o hodógrafo será simplesmente um ponto fixo no espaço das velocidades. Não há variação da velocidade para esboçar uma curva.
Resposta
O hodógrafo dessa função vetorial é um ponto fixo no espaço das velocidades, localizado em
.
Exercícios relacionados
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a) .
(b)
(a)
(b)
Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dada:
Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Sendo
,
caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.
caso seja possível, expanda