Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
r(t) = t*i + (9 - t)*j + t^2*k, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a trajetória de uma partícula P cujo movimento é descrito pela função posição:
Matéria envolvida: Vetores posição e trajetória de partículas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: Entender como separar as componentes do vetor posição, eliminar o parâmetro t para encontrar a relação entre x, y e z, e então descrever como essa relação forma uma trajetória no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes do vetor posição vec(r)(t). Isso significa identificar as coordenadas x, y e z em termos de t:
Aqui, cada componente ( x, y, z) da posição depende de t de forma diferente.

Passo 3

Agora, precisamos eliminar o parâmetro t para relacionar x, y e z diretamente. Isso nos ajudará a entender como as coordenadas estão conectadas sem depender de t.
A partir de , podemos expressar t em termos de x:
Substituindo isso na equação de y(t):
E na equação de z(t):
Então, temos:

Passo 4

Com essas relações, podemos descrever a trajetória da partícula no espaço tridimensional. Vamos analisar como x, y e z estão relacionados:
  1. Entre x e y: A relação é uma reta no plano xy.
  2. Entre x e z: A relação é uma parábola no plano .
Interpretando no espaço 3D:
A trajetória é a interseção da reta com a parábola . Isso forma uma curva que se movimenta ao longo do eixo x, descendo no eixo y e subindo no eixo z quadráticamente.

Passo 5

Para esboçar a trajetória, podemos seguir estes passos:
  1. Desenhar o plano xy: Trace a reta .
  2. Desenhar o plano : Trace a parábola .
  3. Visualizar a curva resultante: A interseção desses dois planos dará a trajetória da partícula, que será uma curva tridimensional que sobe em z conforme x aumenta e desce em y.

Resposta

A trajetória da partícula P é uma curva no espaço tridimensional definida pelas equações e . Essa curva combina o movimento linear no plano xy com um movimento parabólico no eixo z, formando uma trajetória que desce no y, sobe quadráticamente em z e move-se linearmente em x conforme o tempo t aumenta.

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