Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a trajetória de uma partícula
cujo movimento é descrito pela função posição:
Matéria envolvida: Vetores posição e trajetória de partículas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: Entender como separar as componentes do vetor posição, eliminar o parâmetro
para encontrar a relação entre
,
e
, e então descrever como essa relação forma uma trajetória no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as componentes do vetor posição
. Isso significa identificar as coordenadas
,
e
em termos de
:
Aqui, cada componente (
,
,
) da posição depende de
de forma diferente.
Passo 3
Agora, precisamos eliminar o parâmetro
para relacionar
,
e
diretamente. Isso nos ajudará a entender como as coordenadas estão conectadas sem depender de
.
A partir de
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na equação de
:
E na equação de
:
Então, temos:
Passo 4
Com essas relações, podemos descrever a trajetória da partícula no espaço tridimensional. Vamos analisar como
,
e
estão relacionados:
- Entre
e : A relação é uma reta no plano . - Entre
e : A relação é uma parábola no plano .
Interpretando no espaço 3D:
A trajetória é a interseção da reta
com a parábola
. Isso forma uma curva que se movimenta ao longo do eixo
, descendo no eixo
e subindo no eixo
quadráticamente.
Passo 5
Para esboçar a trajetória, podemos seguir estes passos:
- Desenhar o plano
: Trace a reta . - Desenhar o plano
: Trace a parábola . - Visualizar a curva resultante: A interseção desses dois planos dará a trajetória da partícula, que será uma curva tridimensional que sobe em
conforme aumenta e desce em .
Resposta
A trajetória da partícula
é uma curva no espaço tridimensional definida pelas equações
e
. Essa curva combina o movimento linear no plano
com um movimento parabólico no eixo
, formando uma trajetória que desce no
, sobe quadráticamente em
e move-se linearmente em
conforme o tempo
aumenta.
Exercícios relacionados
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a) .
(b)
(a)
(b)
Sendo
,
caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.
caso seja possível, expanda
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o retângulo com vértices
e
;