Esboçar a trajetória de uma partícula , sabendo que seu movimento é descrito por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a trajetória de uma partícula cujo movimento é descrito pela função posição:
Matéria envolvida: Vetores posição e trajetória de partículas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: Entender como separar as componentes do vetor posição, eliminar o parâmetro para encontrar a relação entre , e , e então descrever como essa relação forma uma trajetória no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes do vetor posição . Isso significa identificar as coordenadas , e em termos de :
Aqui, cada componente ( , , ) da posição depende de de forma diferente.

Passo 3

Agora, precisamos eliminar o parâmetro para relacionar , e diretamente. Isso nos ajudará a entender como as coordenadas estão conectadas sem depender de .
A partir de , podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na equação de :
E na equação de :
Então, temos:

Passo 4

Com essas relações, podemos descrever a trajetória da partícula no espaço tridimensional. Vamos analisar como , e estão relacionados:
  1. Entre e : A relação é uma reta no plano .
  2. Entre e : A relação é uma parábola no plano .
Interpretando no espaço 3D:
A trajetória é a interseção da reta com a parábola . Isso forma uma curva que se movimenta ao longo do eixo , descendo no eixo e subindo no eixo quadráticamente.

Passo 5

Para esboçar a trajetória, podemos seguir estes passos:
  1. Desenhar o plano : Trace a reta .
  2. Desenhar o plano : Trace a parábola .
  3. Visualizar a curva resultante: A interseção desses dois planos dará a trajetória da partícula, que será uma curva tridimensional que sobe em conforme aumenta e desce em .

Resposta

A trajetória da partícula é uma curva no espaço tridimensional definida pelas equações e . Essa curva combina o movimento linear no plano com um movimento parabólico no eixo , formando uma trajetória que desce no , sobe quadráticamente em e move-se linearmente em conforme o tempo aumenta.

Exercícios relacionados

Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a) .
(b)
Sendo ,
caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo . Justifique a sua resposta.
Utilize o Teorema de Green para calcular as integrais de linhas ao longo das curvas dadas (orientação positiva).
é o retângulo com vértices e ;