Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade:
(a)
.
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas equações diferenciais e precisamos classificá-las em relação ao tipo, ordem e linearidade. Para isso, vamos lembrar rapidinho o que cada termo significa:
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Tipo: Geralmente, falamos se é uma equação diferencial ordinária (EDO) ou parcial (EDP). Aqui, como só temos derivadas em relação a uma variável, são EDOs.
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Ordem: A ordem da equação é definida pela maior derivada presente nela. Por exemplo, se a maior derivada for a segunda, a equação é de segunda ordem.
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Linearidade: Uma equação é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, não estão multiplicadas entre si nem passadas por funções não-lineares. Se houver produtos ou funções não-lineares, a equação é não linear.
Vamos analisar cada equação uma por uma.
Passo 2
Equação (a):
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Tipo: Como temos apenas derivadas de
em relação a , é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). -
Ordem: A maior derivada presente é
, que é a primeira derivada. Portanto, é uma equação de primeira ordem. -
Linearidade: Observe que
está multiplicando , formando o termo . Esse produto entre e sua derivada torna a equação não linear.
Passo 3
Equação (b):
-
Tipo: Só temos derivadas de
em relação a , então é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). -
Ordem: A maior derivada aqui é
, que é a segunda derivada. Assim, é uma equação de segunda ordem. -
Linearidade: Vamos checar os termos:
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: O coeficiente multiplica a derivada, mas não há produtos entre derivadas ou potências de . -
: Similarmente, multiplica a derivada linearmente. -
: Termo linear.
Não há produtos entree suas derivadas nem funções não-lineares de . Portanto, a equação é linear. -
Resposta
(a) Tipo: Equação Diferencial Ordinária, Ordem: 1, Linearidade: Não linear.
(b) Tipo: Equação Diferencial Ordinária, Ordem: 2, Linearidade: Linear.