Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
a. (1+y^2) d^2 yd t^2+t d yd t+y=e^t ;
b. (sin x) partial zpartial x-(cos x) partial zpartial y=2;
c. d^3 yd t^3+t d yd t+y cos ^2 t=t^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para classificar três equações diferenciais em relação à sua ordem, linearidade e tipo. Para isso, vamos precisar entender o que são ordem, linearidade e tipo de uma equação diferencial.

Passo 2

Parte a: (1+y^2) d^2 yd t^2 + t d yd t + y = e^t
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem é determinada pela maior derivada presente na equação. Aqui, a maior derivada é d^2 yd t^2, que é de segunda ordem.
Agora, vamos verificar a linearidade. A equação é linear se puder ser escrita na forma:
a2(t)y'' + a1(t)y' + a0(t)y = g(t)
onde os coeficientes a2(t), a1(t), a0(t) e g(t) dependem apenas de t e não de y ou suas derivadas. Na nossa equação, o termo (1+y^2) multiplica y'', que depende de y. Isso significa que a equação não é linear.
Quanto ao tipo, como é uma equação diferencial ordinária e não é linear, ela é classificada como uma equação diferencial ordinária não linear de segunda ordem.

Passo 3

Parte b: (sin x) partial zpartial x - (cos x) partial zpartial y = 2
Primeiro, determinamos a ordem da equação. A maior derivada presente é uma derivada de primeira ordem, então a ordem é 1.
Agora, a linearidade. A equação é linear se puder ser escrita como:
a(x,y) partial zpartial x + b(x,y) partial zpartial y + c(x,y) z = d(x,y)
Neste caso, não há termos que envolvam produtos ou funções não lineares de partial zpartial x, partial zpartial y ou z. Portanto, a equação é linear.
Quanto ao tipo, como é uma equação diferencial parcial de primeira ordem e linear, podemos classificá-la como uma equação linear de primeira ordem.

Passo 4

Parte c: d^3 yd t^3 + t d yd t + y cos^2 t = t^3
Primeiro, identificamos a ordem da equação. A maior derivada é d^3 yd t^3, que é de terceira ordem.
Agora, verificamos a linearidade. A equação é linear se puder ser expressa na forma:
a3(t)y''' + a2(t)y'' + a1(t)y' + a0(t)y = g(t)
Aqui, não há termos que envolvam produtos ou funções não lineares de y ou suas derivadas. Portanto, a equação é linear.
Quanto ao tipo, sendo uma equação diferencial ordinária linear de terceira ordem, ela é classificada como tal.

Resposta

a. Segunda ordem, não linear, equação diferencial ordinária não linear.
b. Primeira ordem, linear, equação diferencial parcial linear.
c. Terceira ordem, linear, equação diferencial ordinária linear.

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