Seja
. Com quais valores de
a curva de nível
contém pelo menos um ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função
e pede para descobrir para quais valores de
a curva de nível
tem pelo menos um ponto. Isso envolve entender funções exponenciais e curvas de nível. Vamos precisar lembrar como funcionam as funções exponenciais e o que significa uma curva de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis,
, a curva de nível para um valor específico de
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
. Ou seja, é onde a função atinge exatamente o valor
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
. A função exponencial
é sempre positiva para qualquer número real
. Isso quer dizer que
para todos os valores reais de
e
.
Passo 4
Queremos saber para quais valores de
existe pelo menos um ponto
que satisfaz
. Sabendo que
é sempre positivo, isso significa que
também precisa ser positivo para que a equação tenha solução.
Passo 5
Resumindo, a equação
tem solução se e somente se
. Se
for maior que zero, podemos encontrar valores de
e
que satisfazem a equação. Por exemplo, se escolhermos
, então
será uma solução válida, já que
.
Resposta
A curva de nível
contém pelo menos um ponto para todos os valores de
tais que
.
Exercícios relacionados
Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
a.
b. ;
c. .
a.
b.
c.
Resolva as equações diferenciais abaixo conforme o que se pede:
(redutíveis à variáveis separáveis)
Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
Sejam
e
. Determine:
;