Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente classificar uma equação diferencial como linear ou não-linear e também identificar a ordem dela. Para isso, vamos precisar entender o que define uma equação linear e o que determina a ordem de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma:
Ou seja, as derivadas de aparecem apenas de forma linear (sem multiplicação entre elas ou funções não-lineares aplicadas a elas).

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada:
Nessa equação, temos a derivada de ordem 1 ( ) igualada à raiz quadrada que envolve a derivada de ordem 2 ( ).

Passo 4

Perceba que dentro da raiz quadrada, a derivada de segunda ordem está sendo somada a 1 e passada pela função raiz quadrada. Isso significa que a derivada de segunda ordem está dentro de uma função não-linear (a raiz quadrada), o que já nos dá um indicativo de que a equação pode ser não-linear.

Passo 5

Para confirmar, vamos ver se a equação pode ser reescrita na forma linear que mencionamos no Passo 2. Se tentarmos isolar todos os termos envolvendo e suas derivadas de forma linear, notamos que a presença da raiz torna isso impossível. Portanto, a equação não se encaixa na forma linear.

Passo 6

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente nela. Na nossa equação, a derivada de segunda ordem ( ) é a que aparece, então a ordem da equação é 2.

Resposta

A equação é não-linear e de segunda ordem.

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no intervalo .
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