Mostre que
é uma solução implícita da equação diferencial
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação que já está resolvida de forma implícita, que é
. Nosso objetivo é mostrar que essa equação realmente satisfaz a equação diferencial dada:
Pra fazer isso, vamos usar um método chamado derivação implícita. Basicamente, vamos diferenciar a primeira equação em relação a
e ver se conseguimos chegar na equação diferencial apresentada.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar
em relação a
. Lembre-se que, quando temos uma função de
que depende de
, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Vamos lá:
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo:
-
— A derivada de é . -
— Aqui precisamos usar a regra do produto, já que temos multiplicado por . A derivada do produto é:
-
— A derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 5
Comparando essa equação com a equação diferencial dada:
Vemos que são exatamente as mesmas! Isso significa que a solução implícita
satisfaz a equação diferencial no intervalo
.
Resposta
Portanto, mostramos passo a passo que
é uma solução implícita da equação diferencial
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
;
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
;
Mostre que
satisfaz a equação diferencial
mas não é uma solução explícita desta equação no intervalo
.
Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.