Mostre que é uma solução implícita da equação diferencial
no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação que já está resolvida de forma implícita, que é . Nosso objetivo é mostrar que essa equação realmente satisfaz a equação diferencial dada:
Pra fazer isso, vamos usar um método chamado derivação implícita. Basicamente, vamos diferenciar a primeira equação em relação a e ver se conseguimos chegar na equação diferencial apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar em relação a . Lembre-se que, quando temos uma função de que depende de , precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Vamos lá:

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo:
  1. — A derivada de é .
  2. — Aqui precisamos usar a regra do produto, já que temos multiplicado por . A derivada do produto é:
  1. — A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 5

Comparando essa equação com a equação diferencial dada:
Vemos que são exatamente as mesmas! Isso significa que a solução implícita satisfaz a equação diferencial no intervalo .

Resposta

Portanto, mostramos passo a passo que é uma solução implícita da equação diferencial no intervalo .

Exercícios relacionados

Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. ;
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. ;
Mostre que satisfaz a equação diferencial mas não é uma solução explícita desta equação no intervalo .
Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.