Mostre que y = x ln x satisfaz a equação diferencial x dy/dx = x + y mas não é uma solução explícita desta equação no intervalo I = [-1, 1].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que essa função satisfaz a equação diferencial .
  2. Que não é uma solução explícita dessa equação no intervalo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivação e entender onde a função está definida.

Passo 2

Vamos começar verificando se satisfaz a equação diferencial .
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 3

Aplicando a regra do produto para derivadas, que diz que , temos:

Passo 4

Agora, substituímos na equação diferencial original:
Lembrando que , substituímos:

Passo 5

Percebemos que ambos os lados da equação são iguais:
Isso mostra que realmente satisfaz a equação diferencial .

Passo 6

Agora, precisamos verificar por que não é uma solução explícita no intervalo .
A função só está definida para . No intervalo , valores de negativos e zero não estão dentro do domínio de .

Passo 7

Portanto, a função não é válida para todos os em , já que não está definida para . Isso significa que não é uma solução explícita dessa equação diferencial nesse intervalo.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial , porém não é uma solução explícita no intervalo porque não está definida para .

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