Mostre que
satisfaz a equação diferencial
mas não é uma solução explícita desta equação no intervalo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e precisamos mostrar duas coisas:
- Que essa função satisfaz a equação diferencial
. - Que
não é uma solução explícita dessa equação no intervalo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivação e entender onde a função
está definida.
Passo 2
Vamos começar verificando se
satisfaz a equação diferencial
.
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Aplicando a regra do produto para derivadas, que diz que
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação diferencial original:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 5
Percebemos que ambos os lados da equação são iguais:
Isso mostra que
realmente satisfaz a equação diferencial
.
Passo 6
Agora, precisamos verificar por que
não é uma solução explícita no intervalo
.
A função
só está definida para
. No intervalo
, valores de
negativos e zero não estão dentro do domínio de
.
Passo 7
Portanto, a função
não é válida para todos os
em
, já que
não está definida para
. Isso significa que
não é uma solução explícita dessa equação diferencial nesse intervalo.
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
, porém não é uma solução explícita no intervalo
porque
não está definida para
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é uma solução implícita da equação diferencial
no intervalo
.
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
;
Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
Determine o valor de
para os quais
seja uma solução a equação diferencial