Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação x^2 * y(4) - x^2 * y'' + 4 * x * y' - 3 * y = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e precisamos:
  1. Classificá-la como linear ou não-linear.
  2. Determinar a ordem da equação.
Para isso, vamos precisar conhecer:
  • Equações diferenciais lineares: onde a função desconhecida e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a potências.
  • Ordem da equação: que é a ordem da maior derivada presente na equação.

Passo 2

Vamos analisar a equação dada:
Aqui, temos:
  • : a quarta derivada de y.
  • : a segunda derivada de y.
  • : a primeira derivada de y.
  • y: a função desconhecida.

Passo 3

Para verificar se a equação é linear, precisamos ver se a função y e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Na equação:
  • : está multiplicado por x^2, que é uma função de x, mas isso não envolve y ou suas derivadas de forma não-linear.
  • : semelhante ao anterior.
  • : está multiplicado por , também linear.
  • : y aparece de forma linear.
Não há termos como , , ou funções não-lineares de y, então a equação é linear.

Passo 4

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem é definida pela maior derivada presente na equação.
Observando:
  • é a quarta derivada.
  • é a segunda derivada.
  • é a primeira derivada.
  • y é a função original.
A maior derivada presente é a quarta derivada ( ), então a ordem da equação é 4.

Resposta

A equação diferencial é linear e sua ordem é 4.

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