Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e precisamos:
  1. Classificá-la como linear ou não-linear.
  2. Determinar a ordem da equação.
Para isso, vamos precisar conhecer:
  • Equações diferenciais lineares: onde a função desconhecida e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a potências.
  • Ordem da equação: que é a ordem da maior derivada presente na equação.

Passo 2

Vamos analisar a equação dada:
Aqui, temos:
  • : a quarta derivada de .
  • : a segunda derivada de .
  • : a primeira derivada de .
  • : a função desconhecida.

Passo 3

Para verificar se a equação é linear, precisamos ver se a função e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Na equação:
  • : está multiplicado por , que é uma função de , mas isso não envolve ou suas derivadas de forma não-linear.
  • : semelhante ao anterior.
  • : está multiplicado por , também linear.
  • : aparece de forma linear.
Não há termos como , , ou funções não-lineares de , então a equação é linear.

Passo 4

Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem é definida pela maior derivada presente na equação.
Observando:
  • é a quarta derivada.
  • é a segunda derivada.
  • é a primeira derivada.
  • é a função original.
A maior derivada presente é a quarta derivada ( ), então a ordem da equação é 4.

Resposta

A equação diferencial é linear e sua ordem é 4.

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Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI): .
Encontre os limites:
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI): .
Encontre o limite de quando ou mostre que o limite não existe.