Encontre os limites: lim P (-14, pi2, 2) arctan (x y z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da função arctan(xyz) quando o ponto P = (x, y, z) se aproxima de (-14, pi2, 2). Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades das funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o limite que estamos procurando. Queremos saber para qual valor a função arctan(xyz) se aproxima quando x tende a -14, y tende a pi2 e z tende a 2.

Passo 3

Sabemos que a função arco-tangente, arctan(u), é contínua em todos os pontos do seu domínio. Isso significa que o limite da função arctan(u) quando u se aproxima de um valor a é simplesmente arctan(a). Ou seja:
limu to a arctan(u) = arctan(a)

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa função, podemos dizer que:
limP to (-14, pi2, 2) arctan(xyz) = arctan(limP to (-14, pi2, 2) xyz)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dentro do arco-tangente. Isso significa que precisamos encontrar:
limx to -14 limy to pi2 limz to 2 xyz
Como todas as variáveis estão independentes, podemos multiplicar os limites individuais:
(limx to -14 x) times (limy to pi2 y) times (limz to 2 z) = (-14) times (pi2) times 2

Passo 6

Vamos fazer as contas:
(-14) times (pi2) times 2 = -14 times pi = -pi4

Passo 7

Agora que temos o valor do limite dentro do arco-tangente, substituímos de volta na expressão:
arctan(-pi4)

Resposta

O limite é arctan(-dfracpi4).

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