Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI): .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . Aqui, a gente vai trabalhar com equações diferenciais separáveis, que é um tipo onde a gente consegue separar as variáveis e em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Nossa equação é:
Vamos reescrever para colocar todas as de um lado e as do outro:
Assim, conseguimos separar e .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A esquerda temos:
Do lado direito:
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 4

Igualando as integrais:
Vamos resolver para :
Tomando a raiz quadrada:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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