Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Aqui, a gente vai trabalhar com equações diferenciais separáveis, que é um tipo onde a gente consegue separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Nossa equação é:
Vamos reescrever para colocar todas as
de um lado e as
do outro:
Assim, conseguimos separar
e
.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A esquerda temos:
Do lado direito:
Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Passo 4
Igualando as integrais:
Vamos resolver para
:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial com a condição inicial dada é: