Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI): .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Além disso, foi dado um problema de valor inicial (PVI) onde . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, a solução específica que satisfaz o PVI.

Passo 2

Vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Dividimos os dois lados da equação por para chegar a:
Aqui, identificamos que esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma , onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Desconsiderando a constante de integração para o fator integrante, temos:
Como pode ser positivo ou negativo, consideramos apenas para simplificar:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso se transforma em:
Ou seja:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para :
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 8

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituímos na solução geral:
Sabemos que , então :
Resolvendo para :

Resposta

A solução particular que satisfaz o problema de valor inicial é:

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Encontre os limites:
Nos problemas 33-36, use o conceito de que , é uma função constante se e somente se para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI): .