Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Além disso, foi dado um problema de valor inicial (PVI) onde
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, a solução específica que satisfaz o PVI.
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Dividimos os dois lados da equação por
para chegar a:
Aqui, identificamos que esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
, onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Desconsiderando a constante de integração
para o fator integrante, temos:
Como
pode ser positivo ou negativo, consideramos apenas
para simplificar:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Isso se transforma em:
Ou seja:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 8
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituímos
na solução geral:
Sabemos que
, então
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução particular que satisfaz o problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Encontre os limites:
Nos problemas 33-36, use o conceito de que
,
é uma função constante se e somente se
para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.