Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa descobrir se ela é linear ou não-linear. Além disso, também vamos identificar a ordem dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, analisar os termos da equação e ver qual é a derivada de maior ordem presente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação é linear se ela pode ser escrita como uma soma de termos envolvendo a função desconhecida e suas derivadas, cada um multiplicado por coeficientes que dependem apenas da variável independente (nesse caso, ). Não pode ter produtos ou potências da função ou suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação dada:
Vamos analisar cada termo:
  • : Derivada segunda de , está ok.
  • : Aqui temos um produto de e , o que já é um sinal de não linearidade.
  • : Esse termo é linear.
  • : É o termo do lado direito, também linear.

Passo 4

O ponto chave é o termo . Como há um produto entre e sua derivada , a equação não é linear. Em uma equação linear, cada termo envolvendo ou suas derivadas deve ser multiplicado apenas por funções de , sem produtos entre e suas derivadas.

Passo 5

Quanto à ordem da equação, olhamos para a derivada de maior ordem presente. Aqui, temos , que é a segunda derivada de . Portanto, a ordem da equação é 2.

Resposta

A equação é não-linear e de segunda ordem.

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