Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa descobrir se ela é linear ou não-linear. Além disso, também vamos identificar a ordem dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, analisar os termos da equação e ver qual é a derivada de maior ordem presente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação é linear se ela pode ser escrita como uma soma de termos envolvendo a função desconhecida e suas derivadas, cada um multiplicado por coeficientes que dependem apenas da variável independente (nesse caso,
). Não pode ter produtos ou potências da função ou suas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação dada:
Vamos analisar cada termo:
-
: Derivada segunda de , está ok. -
: Aqui temos um produto de e , o que já é um sinal de não linearidade. -
: Esse termo é linear. - : É o termo do lado direito, também linear.
Passo 4
O ponto chave é o termo
. Como há um produto entre
e sua derivada
, a equação não é linear. Em uma equação linear, cada termo envolvendo
ou suas derivadas deve ser multiplicado apenas por funções de
, sem produtos entre
e suas derivadas.
Passo 5
Quanto à ordem da equação, olhamos para a derivada de maior ordem presente. Aqui, temos
, que é a segunda derivada de
. Portanto, a ordem da equação é 2.
Resposta
A equação é não-linear e de segunda ordem.