Resolva as integrais:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver. A questão pede para resolver a integral:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor expressões racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o grau do numerador e do denominador da fração. O grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece nele.
- Numerador:
tem grau 2. - Denominador:
tem grau 3.
Como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), a fração já está simplificada e podemos seguir para a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Vamos começar fatorando o denominador para facilitar a decomposição. O denominador é:
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes são divisores do termo constante (6) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, possíveis raízes são
.
Testando
:
Então,
é uma raiz. Isso significa que
é um fator do denominador. Agora, vamos dividir o polinômio pelo fator
para encontrar os outros fatores.
Passo 4
Fazendo a divisão polinomial de
por
, encontramos:
Então, o denominador fatorado é:
Passo 5
Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos procurar constantes
,
e
tal que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 6
Vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Substituindo
e na terceira equação:
Agora, substituindo
:
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 9
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
- Integrando
:
- Integrando
:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
.
Então:
- Integrando
:
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente:
Passo 10
Juntando todas as integrais, temos a solução completa:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais:
c)
c)
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
b)
b)
Utilizando o método da Quadratura Gaussiana, determine o valor da integral
.
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.