Resolva as integrais:
h) integral 6 x^2+5 x+16x^3+3 x^2+2 x+6 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver. A questão pede para resolver a integral:
integral 6x^2 + 5x + 16x^3 + 3x^2 + 2x + 6 , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor expressões racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o grau do numerador e do denominador da fração. O grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele.
  • Numerador: tem grau 2.
  • Denominador: tem grau 3.
Como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), a fração já está simplificada e podemos seguir para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos começar fatorando o denominador para facilitar a decomposição. O denominador é:
x^3 + 3x^2 + 2x + 6
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes são divisores do termo constante (6) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, possíveis raízes são (-3)^3 + 3(-3)^2 + 2(-3) + 6 = -27 + 27 - 6 + 6 = 0 .
Testando :
Então, é uma raiz. Isso significa que é um fator do denominador. Agora, vamos dividir o polinômio pelo fator para encontrar os outros fatores.

Passo 4

Fazendo a divisão polinomial de x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = (x + 3)(x^2 + 2) por (x + 3)(x^2 + 2) , encontramos:
Então, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos procurar constantes 6x^2 + 5x + 16(x + 3)(x^2 + 2) = Ax + 3 + Bx + Cx^2 + 2 , 6x^2 + 5x + 16 = A(x^2 + 2) + (Bx + C)(x + 3) e tal que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 6

Vamos expandir o lado direito da equação:
6x^2 + 5x + 16 = A x^2 + 2A + Bx^2 + 3Bx + Cx + 3C
Agrupando os termos semelhantes:
( A + B )x^2 + (3B + C)x + (2A + 3C) = 6x^2 + 5x + 16
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação: 2(6 - B) + 3(5 - 3B) = 16 12 - 2B + 15 - 9B = 16 27 - 11B = 16 -11B = -11 B = 1
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
Agora, substituindo :

Passo 8

Agora que temos os valores de 6x^2 + 5x + 16(x + 3)(x^2 + 2) = 5x + 3 + x + 2x^2 + 2 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
  1. Integrando integral 5x + 3 , dx = 5 ln|x + 3| :
integral xx^2 + 2 , dx = 12 ln|x^2 + 2|
  1. Integrando integral 2x^2 + 2 , dx = 2raiz2 tan^-1(xraiz2) = raiz2 tan^-1(xraiz2) :
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .
Então:
  1. Integrando :
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente:

Passo 10

Juntando todas as integrais, temos a solução completa:
integral 6x^2 + 5x + 16x^3 + 3x^2 + 2x + 6 , dx = 5 ln|x + 3| + 12 ln|x^2 + 2| + raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
5 ln|x + 3| + 12 ln|x^2 + 2| + raiz2, tan^-1(xraiz2) + C
onde é a constante de integração.

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