Resolva as integrais:
h)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa resolver. A questão pede para resolver a integral:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para decompor expressões racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o grau do numerador e do denominador da fração. O grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele.
  • Numerador: tem grau 2.
  • Denominador: tem grau 3.
Como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), a fração já está simplificada e podemos seguir para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos começar fatorando o denominador para facilitar a decomposição. O denominador é:
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes são divisores do termo constante (6) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, possíveis raízes são .
Testando :
Então, é uma raiz. Isso significa que é um fator do denominador. Agora, vamos dividir o polinômio pelo fator para encontrar os outros fatores.

Passo 4

Fazendo a divisão polinomial de por , encontramos:
Então, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos procurar constantes , e tal que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 6

Vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
Agora, substituindo :

Passo 8

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 9

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
  1. Integrando :
  1. Integrando :
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .
Então:
  1. Integrando :
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente:

Passo 10

Juntando todas as integrais, temos a solução completa:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais:
c)
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
b)
Utilizando o método da Quadratura Gaussiana, determine o valor da integral .
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.