Utilizando o método da Quadratura Gaussiana, determine o valor da integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da Quadratura Gaussiana. O problema pede para calcularmos
usando
. Então, vamos precisar entender como funciona a Quadratura Gaussiana, especialmente para
, e aplicar isso para encontrar o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, a Quadratura Gaussiana é um método de integração numérica que aproxima o valor de uma integral definida. Para
, usamos dois pontos específicos (chamados de nós) e seus respectivos pesos para calcular a integral de forma mais eficiente.
Passo 3
Os nós e pesos para
na Quadratura Gaussiana de Legendre são:
Esses valores são padrão e nos ajudam a simplificar os cálculos.
Passo 4
Como nossa integral vai de
a
, precisamos fazer uma mudança de variável para transformar o intervalo de integração para
, que é o padrão usado na Quadratura Gaussiana. A fórmula geral para a mudança de variável é:
Passo 5
Vamos calcular os termos necessários:
Então, os pontos de avaliação serão:
Passo 6
Agora, avaliamos a função
nesses pontos:
Passo 7
Aplicando na fórmula da Quadratura Gaussiana:
Resposta
O valor aproximado da integral
usando Quadratura Gaussiana com
é 0,1824.