Utilizando o método da Quadratura Gaussiana, determine o valor da integral A=integral3^3,6 1x d x, com n=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da Quadratura Gaussiana. O problema pede para calcularmos usando . Então, vamos precisar entender como funciona a Quadratura Gaussiana, especialmente para , e aplicar isso para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, a Quadratura Gaussiana é um método de integração numérica que aproxima o valor de uma integral definida. Para , usamos dois pontos específicos (chamados de nós) e seus respectivos pesos para calcular a integral de forma mais eficiente.

Passo 3

Os nós e pesos para x1 = -raiz1/3 e x2 = raiz1/3 na Quadratura Gaussiana de Legendre são:
w1 = 1 e w2 = 1
Esses valores são padrão e nos ajudam a simplificar os cálculos.

Passo 4

Como nossa integral vai de integrala^b f(x) dx approx b - a2 [ w1 f( a + b2 + b - a2 x1 ) + w2 f( a + b2 + b - a2 x2 ) ] a , precisamos fazer uma mudança de variável para transformar o intervalo de integração para , que é o padrão usado na Quadratura Gaussiana. A fórmula geral para a mudança de variável é:

Passo 5

Vamos calcular os termos necessários:
a + b2 = 3 + 3,62 = 3,3
b - a2 = 3,6 - 32 = 0,3
Então, os pontos de avaliação serão:
x1' = 3,3 + 0,3 times (-raiz1/3 ) approx 3,3 - 0,3 times 0,5774 approx 3,3 - 0,1732 = 3,1268

Passo 6

Agora, avaliamos a função f(x1') = 13,1268 approx 0,320 nesses pontos:
f(x2') = 13,4732 approx 0,288

Passo 7

Aplicando na fórmula da Quadratura Gaussiana:
A approx 0,62 [ 1 times 0,320 + 1 times 0,288 ] = 0,3 times (0,320 + 0,288) = 0,3 times 0,608 = 0,1824

Resposta

O valor aproximado da integral usando Quadratura Gaussiana com é 0,1824.

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