Utilizando o método da Quadratura Gaussiana, determine o valor da integral .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da Quadratura Gaussiana. O problema pede para calcularmos usando . Então, vamos precisar entender como funciona a Quadratura Gaussiana, especialmente para , e aplicar isso para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, a Quadratura Gaussiana é um método de integração numérica que aproxima o valor de uma integral definida. Para , usamos dois pontos específicos (chamados de nós) e seus respectivos pesos para calcular a integral de forma mais eficiente.

Passo 3

Os nós e pesos para na Quadratura Gaussiana de Legendre são:
Esses valores são padrão e nos ajudam a simplificar os cálculos.

Passo 4

Como nossa integral vai de a , precisamos fazer uma mudança de variável para transformar o intervalo de integração para , que é o padrão usado na Quadratura Gaussiana. A fórmula geral para a mudança de variável é:

Passo 5

Vamos calcular os termos necessários:
Então, os pontos de avaliação serão:

Passo 6

Agora, avaliamos a função nesses pontos:

Passo 7

Aplicando na fórmula da Quadratura Gaussiana:

Resposta

O valor aproximado da integral usando Quadratura Gaussiana com é 0,1824.

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