Utilizando o método da Quadratura Gaussiana, determine o valor da integral A=integral1^3[ln (2 x)+x^2] d x, com n=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da Quadratura Gaussiana com . A Quadratura Gaussiana é uma técnica para aproximar integrais definidas, especialmente útil quando não conseguimos integrar de forma fácil. Vamos precisar transformar a nossa integral para um intervalo padrão e usar os pontos e pesos específicos para .

Passo 2

Primeiro, a Quadratura Gaussiana funciona melhor no intervalo x = b - a2 t + b + a2 . Então, vamos fazer uma mudança de variável para transformar nossa integral de x = 3 - 12 t + 3 + 12 = t + 2 para dx = b - a2 dt = 1 cdot dt = dt . Usamos a substituição:
A = integral-1^1 [ln (2(t + 2)) + (t + 2)^2] dt
onde e . Calculando:
O diferencial também muda:
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Com c|c Nó ti & Peso wi hline - raiz35 & 59 0 & 89 raiz35 & 59 , precisamos dos 3 pontos (nós) e seus respectivos pesos para a Quadratura Gaussiana no intervalo . Esses valores são:
ó
Calculando .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Quadratura Gaussiana:
A approx sumi=1^3 wi cdot f(ti)
onde f(t1) = ln[2(-0.7746 + 2)] + (-0.7746 + 2)^2 = ln(2 cdot 1.2254) + (1.2254)^2 approx ln(2.4508) + 1.5012 approx 0.894 + 1.5012 = 2.3952 .
Vamos calcular cada termo:
  1. Para w1 cdot f(t1) = 59 cdot 2.3952 approx 1.3307 :
f(t2) = ln[2(0 + 2)] + (0 + 2)^2 = ln(4) + 4 approx 1.3863 + 4 = 5.3863
w2 cdot f(t2) = 89 cdot 5.3863 approx 4.804
  1. Para f(t3) = ln[2(0.7746 + 2)] + (0.7746 + 2)^2 = ln(2 cdot 2.7746) + (2.7746)^2 approx ln(5.5492) + 7.7003 approx 1.7148 + 7.7003 = 9.4151 :
w3 cdot f(t3) = 59 cdot 9.4151 approx 5.2306
  1. Para :

Passo 5

Agora, somamos todos os termos calculados:
A approx 1.3307 + 4.804 + 5.2306 approx 11.3653

Resposta

O valor aproximado da integral é 11,37.

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