Considere os seguintes dados experimentais:
x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
y(x) 1,00 1,82 2,08 3,18 3,52 4,70 5,12 6,38 6,98 8,22 9,00
Encontre a área sob a curva y = y(x) usando a regra do trapézio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma tabela com alguns pontos (x, y(x)) e precisa encontrar a área sob essa curva usando a regra do trapézio. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre métodos de aproximação de integrais definidas. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da regra do trapézio e aplicá-la aos dados que você tem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do trapézio. Essa regra serve para aproximar a área sob uma curva quando a função é conhecida apenas em alguns pontos. A ideia é dividir a área em pequenos trapézios e somar as áreas deles. A fórmula da regra do trapézio para n intervalos é:
Á
Aqui, Delta x é a largura de cada intervalo entre os pontos x, e são os valores correspondentes de y(x).

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Valores de x: 1,0; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,4; 2,6; 2,8; 3,0
  • Valores de y(x): 1,00; 1,82; 2,08; 3,18; 3,52; 4,70; 5,12; 6,38; 6,98; 8,22; 9,00
A gente tem 11 pontos, o que significa que são 10 intervalos ( ). A largura de cada intervalo, Delta x, é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da regra do trapézio. Primeiro, identificamos e :
Depois, somamos os valores de y que estão no meio, ou seja, de até :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Á
Simplificando os cálculos dentro do colchete:

Passo 6

Continuando, calculamos a área:
Á

Resposta

A área sob a curva , usando a regra do trapézio, é aproximadamente .

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