Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial, dizendo se ela é linear ou não-linear, e também identificar a ordem dela. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação diferencial ser linear e saber identificar a ordem, que é basicamente o maior grau da derivada presente na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial linear. Uma equação é considerada linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas com o primeiro grau, ou seja, sem serem elevadas a potências, multiplicadas entre si ou envolvendo funções delas aplicadas em outras funções. Se qualquer dessas condições não for atendida, a equação é não-linear.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação que temos:
Vamos ver cada termo:
  • : Aqui temos a terceira derivada de , está tudo bem, aparece de forma linear.
  • : Esse termo é a derivada primeira de ao quadrado. Como está elevada ao quadrado, isso já quebra a linearidade.
  • : Esse termo é linear.
  • : Esses são os termos que estão no lado direito e não envolvem , então não afetam a linearidade da equação.

Passo 4

Como identificamos que tem um termo , que está elevado ao quadrado, isso faz com que a equação seja não-linear. Agora, para a ordem da equação, olhamos para a derivada de maior ordem presente, que nesse caso é , ou seja, a terceira derivada. Então, a ordem da equação é 3.

Resposta

A equação diferencial dada é não-linear e de terceira ordem.

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