Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para fazer o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível. Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, chamado de nível. Ou seja, para um determinado valor , a curva de nível é definida por:
No nosso caso, temos , então a equação da curva de nível fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação para facilitar a visualização das curvas de nível:
Isso mostra que, para cada valor de , é uma constante. Ou seja, as curvas de nível são linhas horizontais no plano .

Passo 4

Vamos escolher alguns valores para e determinar as correspondentes curvas de nível:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 5

Cada valor de resulta em uma linha horizontal a uma altura específica:
Isso significa que o mapa de contorno será um conjunto de linhas horizontais espaçadas uniformemente ao longo do eixo .

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em várias curvas de nível horizontais, cada uma representando uma constante . Essas linhas são paralelas ao eixo e estão localizadas em Portanto, ao desenhar o mapa de contorno, teremos uma série de linhas horizontais equidistantes, refletindo que a função depende apenas de e cresce linearmente com ele.

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Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
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