Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para fazer o mapa de contorno da função
mostrando várias curvas de nível. Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante, chamado de nível. Ou seja, para um determinado valor
, a curva de nível é definida por:
No nosso caso, temos
, então a equação da curva de nível fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação para facilitar a visualização das curvas de nível:
Isso mostra que, para cada valor de
,
é uma constante. Ou seja, as curvas de nível são linhas horizontais no plano
.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores para
e determinar as correspondentes curvas de nível:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 5
Cada valor de
resulta em uma linha horizontal a uma altura
específica:
-
-
-
- …
Isso significa que o mapa de contorno será um conjunto de linhas horizontais espaçadas uniformemente ao longo do eixo
.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em várias curvas de nível horizontais, cada uma representando uma constante
. Essas linhas são paralelas ao eixo
e estão localizadas em
Portanto, ao desenhar o mapa de contorno, teremos uma série de linhas horizontais equidistantes, refletindo que a função depende apenas de
e cresce linearmente com ele.
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Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
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