Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem e linearidade: d^2u/dr^2 + du/dr + u = cos(r + u);

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar uma equação diferencial ordinária quanto à ordem e linearidade. Isso significa que precisamos identificar qual é a derivada de maior ordem na equação e verificar se a equação é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela derivada de maior ordem presente nela. Olhando para a equação:
A derivada de maior ordem aqui é , que é uma derivada de segunda ordem. Portanto, a equação é de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita como uma combinação linear das funções e suas derivadas, sem multiplicação ou funções não lineares das incógnitas. Ou seja, não deve haver produtos de u ou funções complexas de u.
Na nossa equação, temos o termo . Esse termo envolve uma função não linear de u, já que o seno e o cosseno de u tornam a equação não linear. Se a equação fosse linear, os termos teriam apenas u, , etc., sem funções não lineares aplicadas a eles.

Resposta

A equação é de segunda ordem e não linear.

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Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem e linearidade: t^5 y^(5) - t^3 y'' + 6 y = 0;
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Determine os valores de m de forma que a função y = x^m seja solução da equação dada: x y'' + 2 y' = 0;