Questão 7. Avalie a integral
, considerando-a como a parte real de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
, onde
. Essa integral envolve funções trigonométricas e funções racionais, então vamos usar técnicas de cálculo avançado, especificamente integrais de funções complexas e o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar entender como converter funções trigonométricas em exponenciais complexas e aplicar o Teorema dos Resíduos para resolver integrais no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função cosseno usando a fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com exponenciais complexas. A fórmula é:
Isso significa que a função cosseno é a parte real da exponencial complexa
. Então, podemos considerar a integral como a parte real de uma integral complexa:
Passo 3
Agora, vamos focar em calcular a integral complexa
. Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas fechando o caminho de integração no plano complexo e somando os resíduos das singularidades dentro desse caminho.
Passo 4
Primeiro, identificamos as singularidades (pontos onde a função não é analítica) da função
. As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, quando
, o que dá
e
. Esses são pólos de segunda ordem.
Como
, fechamos o caminho de integração no semiplano superior para garantir que a contribuição do arco no infinito desapareça. Assim, apenas
está dentro do nosso caminho.
Passo 5
Calculamos o resíduo da função
no pólo
. Para um pólo de segunda ordem, o resíduo é dado por:
Calculando a derivada e simplificando, encontramos:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral complexa é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do caminho. Assim:
Como estamos interessados apenas na parte real dessa integral, temos:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Questão 2. Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
(2,5 pontos) Verifique que
Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem e linearidade:
;
Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem e linearidade:
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