Questão 7. Avalie a integral integral-infty^infty cos (a x)(x^2+1)^2 dx, a neq 0, considerando-a como a parte real de integral-infty^infty e^i a x(x^2+1)^2 dx, a>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral , onde . Essa integral envolve funções trigonométricas e funções racionais, então vamos usar técnicas de cálculo avançado, especificamente integrais de funções complexas e o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar entender como converter funções trigonométricas em exponenciais complexas e aplicar o Teorema dos Resíduos para resolver integrais no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função cosseno usando a fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com exponenciais complexas. A fórmula é:
cos(a x) = Re(e^i a x)
Isso significa que a função cosseno é a parte real da exponencial complexa integral-infty^infty cos(a x)(x^2+1)^2 , dx = Re( integral-infty^infty e^i a x(x^2+1)^2 , dx ) . Então, podemos considerar a integral como a parte real de uma integral complexa:

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular a integral complexa . Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas fechando o caminho de integração no plano complexo e somando os resíduos das singularidades dentro desse caminho.

Passo 4

Primeiro, identificamos as singularidades (pontos onde a função não é analítica) da função . As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, quando , o que dá e . Esses são pólos de segunda ordem.
Como , fechamos o caminho de integração no semiplano superior para garantir que a contribuição do arco no infinito desapareça. Assim, apenas está dentro do nosso caminho.

Passo 5

Calculamos o resíduo da função Res( e^i a x(x^2+1)^2, i ) = limx to i ddx [ (x - i)^2 e^i a x(x^2+1)^2 ] no pólo Res = pi2 e^-a (1 + a) . Para um pólo de segunda ordem, o resíduo é dado por:
Calculando a derivada e simplificando, encontramos:

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral complexa é igual a integral-infty^infty e^i a x(x^2+1)^2 , dx = 2pi i times pi2 e^-a (1 + a) = pi e^-a (1 + a) vezes a soma dos resíduos dentro do caminho. Assim:
integral-infty^infty cos(a x)(x^2+1)^2 , dx = Re( pi e^-a (1 + a) ) = pi e^-a (1 + a)
Como estamos interessados apenas na parte real dessa integral, temos:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Questão 2. Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC e^4 /(z-2) d z, |z-1|=3
(2,5 pontos) Verifique que
integral0^infty 1(x^2+a^2)^2 d x=pi4 a^3, se a>0
Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem e linearidade: t^5 y^(5) - t^3 y'' + 6 y = 0;
Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem e linearidade: d^2u/dr^2 + du/dr + u = cos(r + u);