Prove que
integral x^2 e^x d x=x^2 e^x-2 x e^x+2 e^x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica da matemática para integrar produtos de funções. Precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma parte que vai simplificar quando derivada e outra que é fácil de integrar. No nosso caso, vamos escolher e .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx e integrar dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x :

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx

Passo 4

Ficou uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral. Desta vez, definimos e .

Passo 5

Derivando u = x Rightarrow du = dx e integrando dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x :

Passo 6

Aplicamos a fórmula de integração por partes novamente:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx
Sabemos que integral x e^x , dx = x e^x - e^x , então:

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2 ( x e^x - e^x )
Distribuindo o -2:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C

Resposta

integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C

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