Classifique as equações pelo tipo, ordem, e linearidade.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos a equação diferencial
e precisamos classificá-la pelo tipo, ordem e linearidade. Para isso, vamos identificar a ordem da equação, verificar se ela é linear e determinar seu tipo com base nessas características.
Passo 2
Determinar a ordem da equação:
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Aqui, a maior derivada é , que é a segunda derivada. Portanto, a equação é de segunda ordem.
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente na equação. Aqui, a maior derivada é
Passo 3
Analisar a linearidade da equação:
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita como uma combinação linear das derivadas de , sem termos que envolvam produtos ou funções não lineares de
. Vamos reorganizar a equação:
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita como uma combinação linear das derivadas de
Aqui, a equação está na forma linear
, onde
,
e
. Não há termos não lineares ou produtos de
e suas derivadas. Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Classificar o tipo da equação:
Sabendo que a equação é de segunda ordem e linear, podemos classificar o tipo com base nos coeficientes:
Sabendo que a equação é de segunda ordem e linear, podemos classificar o tipo com base nos coeficientes:
- Coeficientes constantes: Os coeficientes
, e são constantes (não dependem de ).
Portanto, a equação é uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.
Resposta
A equação
é uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.
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Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge:
(Sugestão: comparação no limite .)
(Sugestão: comparação no limite
Identificar as afirmações verdadeiras:
a) é ponto de acumulação do conjunto
b) Os pontos e
pertencem à fronteira do conjunto
.
c) é ponto de acumulação da bola aberta
, qualquer que seja
.
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f) é um conjunto aberto.
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto pertence a esse conjunto.
h) O conjunto e
são racionais
não tem ponto de acumulação.
i) Todos os pontos de um conjunto aberto são pontos de acumulação de
.
j) Se é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de
pertence a
.
a)
b) Os pontos
c)
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f)
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto
h) O conjunto
i) Todos os pontos de um conjunto aberto
j) Se
Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
a)
a)
Classifique as equações pelo tipo, ordem, e linearidade.