Classifique as equações pelo tipo, ordem, e linearidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar a seguinte equação diferencial parcial pelo tipo, ordem e linearidade:
Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação.
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Aqui, vemos derivadas de segunda ordem: e . Então, a ordem da equação é segunda.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a linearidade da equação.
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida (nesse caso, ) e suas derivadas aparecem apenas de primeira potência e não são multiplicadas entre si. Na nossa equação:
Todas as ocorrências de e suas derivadas estão na primeira potência e não se multiplicam entre si. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Por fim, vamos determinar o tipo da equação.
Para equações diferenciais parciais de segunda ordem, o tipo (elíptica, parabólica ou hiperbólica) é determinado pelo discriminante, que é calculado assim:
Onde, na nossa equação:
  • (coeficiente de )
  • (não há termo de )
  • (coeficiente de )
Então,
Como , a equação é do tipo elíptica.

Resposta

A equação é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, linear e de tipo elíptico.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
a)
Classifique as equações pelo tipo, ordem, e linearidade.
Determine a derivada das funções vetoriais. (b)
Verifique se as funções dadas são soluções das equações diferenciais: