Classifique as equações pelo tipo, ordem, e linearidade. partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=u

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar a seguinte equação diferencial parcial pelo tipo, ordem e linearidade:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = u
Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação.
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Aqui, vemos derivadas de segunda ordem: partial^2 upartial x^2 e partial^2 upartial y^2. Então, a ordem da equação é segunda.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a linearidade da equação.
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida (nesse caso, u) e suas derivadas aparecem apenas de primeira potência e não são multiplicadas entre si. Na nossa equação:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = u
Todas as ocorrências de u e suas derivadas estão na primeira potência e não se multiplicam entre si. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Por fim, vamos determinar o tipo da equação.
Para equações diferenciais parciais de segunda ordem, o tipo (elíptica, parabólica ou hiperbólica) é determinado pelo discriminante, que é calculado assim:
De
Onde, na nossa equação:
  • A = 1 (coeficiente de partial^2 upartial x^2)
  • B = 0 (não há termo de partial^2 upartial x partial y)
  • C = 1 (coeficiente de partial^2 upartial y^2)
Então,
De
Como De, a equação é do tipo elíptica.

Resposta

A equação partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = u é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, linear e de tipo elíptico.

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