Identificar as afirmações verdadeiras:
a)
é ponto de acumulação do conjunto
b) Os pontos
e
pertencem à fronteira do conjunto
.
c)
é ponto de acumulação da bola aberta
, qualquer que seja
.
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f)
é um conjunto aberto.
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto
pertence a esse conjunto.
h) O conjunto
e
são racionais
não tem ponto de acumulação.
i) Todos os pontos de um conjunto aberto
são pontos de acumulação de
.
j) Se
é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de
pertence a
.
a)
b) Os pontos
c)
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f)
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto
h) O conjunto
i) Todos os pontos de um conjunto aberto
j) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos várias afirmações sobre conjuntos no plano
, envolvendo conceitos como pontos de acumulação, fronteira e conjuntos abertos. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses conceitos e como aplicá-los a cada afirmação.
Passo 2
Afirmação a)
é ponto de acumulação do conjunto
.
Um ponto de acumulação de um conjunto é aquele onde qualquer bola aberta ao redor do ponto contém pontos do conjunto diferentes dele mesmo. Vamos analisar se sempre há pontos de
próximos a
.
Passo 3
Afirmação b) Os pontos
e
pertencem à fronteira do conjunto
.
A fronteira de um conjunto é formada por pontos onde qualquer bola aberta ao redor contém pontos dentro e fora do conjunto. Precisamos verificar se
e
satisfazem essa condição para
.
Passo 4
Afirmação c)
é ponto de acumulação da bola aberta
, qualquer que seja
.
Como uma bola aberta ao redor de
sempre contém outros pontos do próprio conjunto,
é realmente um ponto de acumulação.
Passo 5
Afirmação d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
Por definição, o conjunto vazio é considerado aberto em qualquer espaço topológico, pois não contém pontos que violariam a definição de aberto.
Passo 6
Afirmação e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
Bolas abertas são exemplos clássicos de conjuntos abertos na topologia, pois por definição, cada ponto dentro da bola tem uma vizinhança totalmente contida na bola.
Passo 7
Afirmação f)
é um conjunto aberto.
O espaço todo
é considerado aberto porque não há pontos fora dele que precisam ser considerados; toda bola aberta em
está contida em
.
Passo 8
Afirmação g) Todo ponto de acumulação de um conjunto
pertence a esse conjunto.
Isso nem sempre é verdadeiro. Um ponto de acumulação pode estar ou não no conjunto
. Se estiver, dizemos que é um ponto de acumulação interno; caso contrário, é externo.
Passo 9
Afirmação h) O conjunto
não tem ponto de acumulação.
Como os racionais são densos em
, qualquer ponto no plano pode ser aproximado por pontos com coordenadas racionais, logo cada ponto é um ponto de acumulação.
Passo 10
Afirmação i) Todos os pontos de um conjunto aberto
são pontos de acumulação de
.
Em conjuntos abertos, cada ponto tem uma vizinhança totalmente contida no conjunto, garantindo que há infinitos pontos próximos, tornando cada ponto um ponto de acumulação.
Passo 11
Afirmação j) Se
é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de
pertence a
.
Na verdade, um conjunto aberto não inclui seus pontos de fronteira. Portanto, pontos de fronteira não pertencem a um conjunto aberto.
Resposta
As afirmações verdadeiras são: a), b), c), d), e), f), e i). As afirmações g), h) e j) são falsas.
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