Identificar as afirmações verdadeiras:
a) P(0,0) é ponto de acumulação do conjunto A = {(x, y) ∈ R² | y > x}
b) Os pontos P(0,4) e Q(2,2) pertencem à fronteira do conjunto B = {(x, y) em R^2 | y > 4 - x^2}.
c) P(0,0) é ponto de acumulação da bola aberta B((0,0), r), qualquer que seja r > 0.
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f) R^2 é um conjunto aberto.
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto A pertence a esse conjunto.
h) O conjunto {(x, y) em R^2 | x} e y são racionais } não tem ponto de acumulação.
i) Todos os pontos de um conjunto aberto A são pontos de acumulação de A.
j) Se A é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de A pertence a A.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos várias afirmações sobre conjuntos no plano , envolvendo conceitos como pontos de acumulação, fronteira e conjuntos abertos. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses conceitos e como aplicá-los a cada afirmação.

Passo 2

Afirmação a) é ponto de acumulação do conjunto .
Um ponto de acumulação de um conjunto é aquele onde qualquer bola aberta ao redor do ponto contém pontos do conjunto diferentes dele mesmo. Vamos analisar se sempre há pontos de próximos a .

Passo 3

Afirmação b) Os pontos e pertencem à fronteira do conjunto .
A fronteira de um conjunto é formada por pontos onde qualquer bola aberta ao redor contém pontos dentro e fora do conjunto. Precisamos verificar se e satisfazem essa condição para .

Passo 4

Afirmação c) é ponto de acumulação da bola aberta , qualquer que seja .
Como uma bola aberta ao redor de sempre contém outros pontos do próprio conjunto, é realmente um ponto de acumulação.

Passo 5

Afirmação d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
Por definição, o conjunto vazio é considerado aberto em qualquer espaço topológico, pois não contém pontos que violariam a definição de aberto.

Passo 6

Afirmação e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
Bolas abertas são exemplos clássicos de conjuntos abertos na topologia, pois por definição, cada ponto dentro da bola tem uma vizinhança totalmente contida na bola.

Passo 7

Afirmação f) é um conjunto aberto.
O espaço todo é considerado aberto porque não há pontos fora dele que precisam ser considerados; toda bola aberta em está contida em .

Passo 8

Afirmação g) Todo ponto de acumulação de um conjunto pertence a esse conjunto.
Isso nem sempre é verdadeiro. Um ponto de acumulação pode estar ou não no conjunto . Se estiver, dizemos que é um ponto de acumulação interno; caso contrário, é externo.

Passo 9

Afirmação h) O conjunto ã não tem ponto de acumulação.
Como os racionais são densos em , qualquer ponto no plano pode ser aproximado por pontos com coordenadas racionais, logo cada ponto é um ponto de acumulação.

Passo 10

Afirmação i) Todos os pontos de um conjunto aberto são pontos de acumulação de .
Em conjuntos abertos, cada ponto tem uma vizinhança totalmente contida no conjunto, garantindo que há infinitos pontos próximos, tornando cada ponto um ponto de acumulação.

Passo 11

Afirmação j) Se é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de pertence a .
Na verdade, um conjunto aberto não inclui seus pontos de fronteira. Portanto, pontos de fronteira não pertencem a um conjunto aberto.

Resposta

As afirmações verdadeiras são: a), b), c), d), e), f), e i). As afirmações g), h) e j) são falsas.

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