Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge: sumn=1^infty raizn+1n^2+2
(Sugestão: comparação no limite com sumn=1^infty(1 / raizn).)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge usando o teste de comparação no limite. A série é:
sumn=1^infty raizn+1n^2+2
Para isso, vamos comparar com outra série que já sabemos o comportamento, que no caso é:
sumn=1^infty 1raizn
Vamos precisar entender como funciona o teste de comparação no limite e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste de comparação no limite. Ele serve para comparar duas séries e, com base no limite da razão dos termos delas quando L = limn to infty anbn tende ao infinito, determinar se a série original converge ou diverge.
A fórmula do teste é:
Onde é o termo da série que estamos analisando e é o termo da série com a qual estamos comparando.
  • Se é finito e diferente de zero, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
  • Se e converge, então também converge.
  • Se e diverge, ent��o também diverge.

Passo 3

Agora, vamos identificar e nas nossas séries.
Nosso objetivo é calcular o limite usando esses termos.

Passo 4

Vamos calcular o limite L = limn to infty raizn+1n^2+21raizn = limn to infty raizn+1n^2+2 cdot raizn :
raizn cdot raizn+1n^2+2 = raizn cdot n+1n^2+2 = raizn(n+1)n^2+2
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz dividindo numerador e denominador por n(n+1)n^2+2 = n^2 + nn^2 + 2 = 1 + 1n1 + 2n^2 :
limn to infty 1 + 1n1 + 2n^2 = 1 + 01 + 0 = 1
Agora, calculamos o limite quando L = raiz1 = 1 tende ao infinito:
Então:

Passo 6

Segundo o teste de comparação no limite, já que (um número finito diferente de zero), as duas séries têm o mesmo comportamento.
Sabemos que a série é uma série p com . Como , essa série diverge.

Resposta

Portanto, a série
sumn=1^infty raizn+1n^2+2
também diverge.

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