Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge:
(Sugestão: comparação no limite
.)
(Sugestão: comparação no limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge usando o teste de comparação no limite. A série é:
Para isso, vamos comparar com outra série que já sabemos o comportamento, que no caso é:
Vamos precisar entender como funciona o teste de comparação no limite e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste de comparação no limite. Ele serve para comparar duas séries e, com base no limite da razão dos termos delas quando
tende ao infinito, determinar se a série original converge ou diverge.
A fórmula do teste é:
Onde
é o termo da série que estamos analisando e
é o termo da série com a qual estamos comparando.
- Se
é finito e diferente de zero, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). - Se
e converge, então também converge. - Se
e diverge, ent��o também diverge.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
nas nossas séries.
Nosso objetivo é calcular o limite
usando esses termos.
Passo 4
Vamos calcular o limite
:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz dividindo numerador e denominador por
:
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Então:
Passo 6
Segundo o teste de comparação no limite, já que
(um número finito diferente de zero), as duas séries têm o mesmo comportamento.
Sabemos que a série
é uma série p com
. Como
, essa série diverge.
Resposta
Portanto, a série
também diverge.