Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge:
(Sugestão: comparação no limite
.)
(Sugestão: comparação no limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge usando o teste de comparação no limite. A série é:
Para isso, vamos comparar com outra série que já sabemos o comportamento, que no caso é:
Vamos precisar entender como funciona o teste de comparação no limite e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste de comparação no limite. Ele serve para comparar duas séries e, com base no limite da razão dos termos delas quando
tende ao infinito, determinar se a série original converge ou diverge.
A fórmula do teste é:
Onde
é o termo da série que estamos analisando e
é o termo da série com a qual estamos comparando.
- Se
é finito e diferente de zero, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). - Se
e converge, então também converge. - Se
e diverge, ent��o também diverge.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
nas nossas séries.
Nosso objetivo é calcular o limite
usando esses termos.
Passo 4
Vamos calcular o limite
:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz dividindo numerador e denominador por
:
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Então:
Passo 6
Segundo o teste de comparação no limite, já que
(um número finito diferente de zero), as duas séries têm o mesmo comportamento.
Sabemos que a série
é uma série p com
. Como
, essa série diverge.
Resposta
Portanto, a série
também diverge.
Exercícios relacionados
Identificar as afirmações verdadeiras:
a) é ponto de acumulação do conjunto
b) Os pontos e
pertencem à fronteira do conjunto
.
c) é ponto de acumulação da bola aberta
, qualquer que seja
.
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f) é um conjunto aberto.
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto pertence a esse conjunto.
h) O conjunto e
são racionais
não tem ponto de acumulação.
i) Todos os pontos de um conjunto aberto são pontos de acumulação de
.
j) Se é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de
pertence a
.
a)
b) Os pontos
c)
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f)
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto
h) O conjunto
i) Todos os pontos de um conjunto aberto
j) Se
O comprimento da corda é 5,027 m
. A incerteza expandida foi calculada multiplicando a incerteza-padrão combinada pelo fator de abrangência k = 2, para uma probabilidade de abrangência de aproximadamente 95%.
Classifique as equações pelo tipo, ordem, e linearidade.
Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
a)
a)