Utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge:
(Sugestão: comparação no limite .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge usando o teste de comparação no limite. A série é:
Para isso, vamos comparar com outra série que já sabemos o comportamento, que no caso é:
Vamos precisar entender como funciona o teste de comparação no limite e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste de comparação no limite. Ele serve para comparar duas séries e, com base no limite da razão dos termos delas quando tende ao infinito, determinar se a série original converge ou diverge.
A fórmula do teste é:
Onde é o termo da série que estamos analisando e é o termo da série com a qual estamos comparando.
  • Se é finito e diferente de zero, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
  • Se e converge, então também converge.
  • Se e diverge, ent��o também diverge.

Passo 3

Agora, vamos identificar e nas nossas séries.
Nosso objetivo é calcular o limite usando esses termos.

Passo 4

Vamos calcular o limite :
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz dividindo numerador e denominador por :
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Então:

Passo 6

Segundo o teste de comparação no limite, já que (um número finito diferente de zero), as duas séries têm o mesmo comportamento.
Sabemos que a série é uma série p com . Como , essa série diverge.

Resposta

Portanto, a série
também diverge.

Exercícios relacionados

Identificar as afirmações verdadeiras:
a) é ponto de acumulação do conjunto
b) Os pontos e pertencem à fronteira do conjunto .
c) é ponto de acumulação da bola aberta , qualquer que seja .
d) O conjunto vazio é um conjunto aberto.
e) Toda bola aberta é um conjunto aberto.
f) é um conjunto aberto.
g) Todo ponto de acumulação de um conjunto pertence a esse conjunto.
h) O conjunto e são racionais não tem ponto de acumulação.
i) Todos os pontos de um conjunto aberto são pontos de acumulação de .
j) Se é um conjunto aberto, nenhum ponto de fronteira de pertence a .
O comprimento da corda é 5,027 m . A incerteza expandida foi calculada multiplicando a incerteza-padrão combinada pelo fator de abrangência k = 2, para uma probabilidade de abrangência de aproximadamente 95%.
Classifique as equações pelo tipo, ordem, e linearidade.
Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
a)