Verifique se as funções dadas são soluções das equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que quer saber se uma função específica resolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é:
E a função que a gente precisa verificar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial e como verificar se uma função é solução dela. Basicamente, uma equação diferencial relaciona uma função com suas derivadas, e uma função é solução se, ao substituir na equação, ela satisfaz a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a parte da função onde x < 0. A função nesse caso é:
Vamos calcular a derivada dessa função em relação a x:
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Então, para x < 0, a equação diferencial é satisfeita, pois o resultado é zero, igualando-se ao lado direito da equação.
Passo 3
Agora, vamos verificar para a parte onde x ≥ 0. A função nesse caso é:
Calculando a derivada dessa função:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Mais uma vez, a equação diferencial é satisfeita para x ≥ 0, já que o resultado é zero, igualando-se ao lado direito da equação.
Passo 4
Além de verificar para x < 0 e x ≥ 0, é importante conferir se a função é contínua e diferenciável no ponto onde a definição muda, que é x = 0. Vamos ver:
- Para x < 0,
- Para x ≥ 0,
Então, a função é contínua em x = 0. A derivada também é:
- Para x < 0,
- Para x ≥ 0,
A derivada também é contínua em x = 0, o que significa que a função é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Sim, a função dada é solução da equação diferencial
para todo
.
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e
.