Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar e esboçar a quádrica dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre superfícies quádricas e entender como essa equação se comporta quando cortamos com os planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado, facilitando a identificação da superfície:
Isso nos mostra que
é uma combinação de termos quadráticos em
e
, o que sugere que estamos lidando com um paraboloide elíptico. Um paraboloide elíptico tem a forma geral
, onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos analisar as interseções dessa quádrica com os planos coordenados para entender melhor as curvas resultantes.
Interseção com o Plano XY (
)
Substituindo
na equação original:
Podemos dividir todos os termos por
:
A única solução real para essa equação é
e
, ou seja, o ponto
. Assim, a interseção com o plano XY é apenas o ponto de origem.
Interseção com o Plano XZ (
)
Substituindo
na equação original:
Essa é a equação de uma parábola no plano XZ, abrindo para cima.
Interseção com o Plano YZ (
)
Substituindo
na equação original:
Novamente, temos a equação de uma parábola no plano YZ, também abrindo para cima.
Resposta
A quádrica
é um paraboloide elíptico. Suas interseções com os planos coordenados são:
- Plano XY: Apenas o ponto
. - Plano XZ: Uma parábola
. - Plano YZ: Uma parábola
.
Esses elementos confirmam que a quádrica é um paraboloide elíptico, com curvas de interseção que são duas parábolas nos planos XZ e YZ, e um ponto no plano XY.