Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados. -4 x^2-16 y^2+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar e esboçar a quádrica dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre superfícies quádricas e entender como essa equação se comporta quando cortamos com os planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar z = 4x^2 + 16y^2 isolado, facilitando a identificação da superfície:
Isso nos mostra que é uma combinação de termos quadráticos em e , o que sugere que estamos lidando com um paraboloide elíptico. Um paraboloide elíptico tem a forma geral , onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos analisar as interseções dessa quádrica com os planos coordenados para entender melhor as curvas resultantes.

Interseção com o Plano XY ( -4x^2 -16y^2 = 0 )

Substituindo x^2 + 4y^2 = 0 na equação original:
-4x^2 + z = 0 Rightarrow z = 4x^2
Podemos dividir todos os termos por -16y^2 + z = 0 Rightarrow z = 16y^2 :
A única solução real para essa equação é e , ou seja, o ponto . Assim, a interseção com o plano XY é apenas o ponto de origem.

Interseção com o Plano XZ ( )

Substituindo na equação original:
Essa é a equação de uma parábola no plano XZ, abrindo para cima.

Interseção com o Plano YZ ( )

Substituindo na equação original:
Novamente, temos a equação de uma parábola no plano YZ, também abrindo para cima.

Resposta

A quádrica é um paraboloide elíptico. Suas interseções com os planos coordenados são:
  • Plano XY: Apenas o ponto .
  • Plano XZ: Uma parábola .
  • Plano YZ: Uma parábola .
Esses elementos confirmam que a quádrica é um paraboloide elíptico, com curvas de interseção que são duas parábolas nos planos XZ e YZ, e um ponto no plano XY.

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