(2,0 pts) A transformação linear Ttheta: R^2 R^2, aplicada a um vetor v=(x, y) indica a rotação do vetor v de um ângulo de theta (no sentido anti-horário, em relação à origem). A lei de Ttheta é dada por
Ttheta(x, y)=(x cos theta-y sin theta, x sin theta+y cos theta)
Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice C de um triângulo retângulo e isósceles em A, onde A=(2,1) e B=(5,3) são vértices desse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o vértice de um triângulo que é retângulo e isósceles no ponto . Sabemos que e . Para resolver isso, vamos usar transformações lineares, mais especificamente matrizes de rotação. Isso vai nos ajudar a girar o vetor que liga a para encontrar o ponto .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor que vai de AB = B - A = (5 - 2, 3 - 1) = (3, 2) até . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Como o triângulo é isósceles e retângulo no ponto , o lado deve ter o mesmo tamanho que e formar um ângulo de 90 graus com ele. Para encontrar esse novo vetor , vamos rotacionar em 90 graus no sentido anti-horário.

Passo 4

A matriz de rotação para girar um vetor em um ângulo Rtheta = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta é dada por:
cos 90^circ = 0 e sin 90^circ = 1
No nosso caso, R90^circ = 0 & -1 1 & 0 . Sabendo que:
AC = R90^circ cdot AB = 0 & -1 1 & 0 cdot 3 2 = 0 cdot 3 + (-1) cdot 2 1 cdot 3 + 0 cdot 2 = -2 3
A matriz de rotação fica:
Agora, aplicamos essa matriz ao vetor :

[
\vec{AC} = R_{90^\circ} \cdot \vec{AB} =

\cdot


]

Passo 5

Agora que temos o vetor C = A + AC = (2,1) + (-2,3) = (2 - 2, 1 + 3) = (0,4) , podemos encontrar as coordenadas do ponto adicionando esse vetor às coordenadas de :

Resposta

O vértice do triângulo é .

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