A transformação linear
, aplicada a um vetor
indica a rotação do vetor
de um ângulo de
(no sentido anti-horário, em relação à origem). A lei de
é dada por
Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice
de um triângulo retângulo e isósceles em
, onde
e
são vértices desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o vértice
de um triângulo que é retângulo e isósceles no ponto
. Sabemos que
e
. Para resolver isso, vamos usar transformações lineares, mais especificamente matrizes de rotação. Isso vai nos ajudar a girar o vetor que liga
a
para encontrar o ponto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor que vai de
até
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Passo 3
Como o triângulo é isósceles e retângulo no ponto
, o lado
deve ter o mesmo tamanho que
e formar um ângulo de 90 graus com ele. Para encontrar esse novo vetor
, vamos rotacionar
em 90 graus no sentido anti-horário.
Passo 4
A matriz de rotação para girar um vetor em um ângulo
é dada por:
No nosso caso,
. Sabendo que:
A matriz de rotação fica:
Agora, aplicamos essa matriz ao vetor
:
[
\vec{AC} = R_{90^\circ} \cdot \vec{AB} =
\cdot
]
Passo 5
Agora que temos o vetor
, podemos encontrar as coordenadas do ponto
adicionando esse vetor às coordenadas de
:
Resposta
O vértice
do triângulo é
.