Obtenha as equações geral e paramétrica do plano que contém a reta e é paralelo à reta
(Observação: um plano é paralelo a uma reta se não se interceptam, isto é .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as equações geral e paramétrica de um plano que contém uma certa reta e é paralelo a outra reta . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações de planos e paralelismo entre retas e planos. Vamos precisar usar vetores diretores das retas e propriedades de planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas envolvidas. A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor de é .
A reta é dada por:
Podemos reescrever isso parametricamente como:
Então, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, queremos que o plano seja paralelo à reta . Isso significa que o vetor diretor de , , deve ser paralelo ao plano . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, . Esse vetor normal deve ser perpendicular tanto ao vetor diretor de , , quanto ao vetor diretor de , .
Passo 4
Para encontrar um vetor normal n = u times v = i & j & k 2 & 1 & 2 2 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot 1) - j(2 cdot 1 - 2 cdot 1) + k(2 cdot 1 - 2 cdot 1) = i(-1) - j(0) + k(0) = (-1, 0, 0) que seja perpendicular a e , podemos calcular o produto vetorial entre e :
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e sabendo que o plano -1(x - 1) + 0(y - 1) + 0(z - 0) = 0 - (x - 1) = 0 x = 1 contém o ponto x = 1 da reta , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Substituindo:
Então, a equação geral do plano é:
Passo 6
Agora, para encontrar a equação paramétrica do plano pi: x = 1 y = 1 + 2t + 2s z = 0 + t + s , precisamos de dois vetores diretores que estão no plano. Já temos o vetor da reta . Como o plano é paralelo à reta , também podemos usar o vetor .
Assim, a equação paramétrica do plano é:
Onde .
Resposta
As equações do plano Equação Geral: x = 1 são:
Equação Paramétrica: x = 1 y = 1 + 2t + 2s z = t + s çã