Obtenha os focos, os vértices e esboce o gráfico da cônica: 25 x^2+169 y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os focos, os vértices e esboçar o gráfico da cônica representada pela equação . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das Cônicas. Para resolver, vamos identificar que tipo de cônica é essa, colocar a equação na forma padrão e, a partir daí, determinar os elementos solicitados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar de que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral da cônica é . No nosso caso, temos , sem termos de ou lineares. Como os coeficientes de e são positivos e diferentes, a cônica é uma elipse.

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 9:
25x^29 + 169y^29 = 1
Simplificando, temos:
x^2(35)^2 + y^2(313)^2 = 1
Então, identificamos que e .

Passo 4

Em uma elipse, (pm 35, 0) Rightarrow (35, 0) e (-35, 0) representa o semi-eixo maior e o semi-eixo menor. Como , o eixo maior está na direção do eixo .
Para encontrar os vértices, usamos as coordenadas :

Passo 5

Para encontrar os focos, precisamos calcular a^2 = (35)^2 = 925 , onde b^2 = (313)^2 = 9169 :
c = raiz925 - 9169 = raiz(9 times 169) - (9 times 25)25 times 169 = raiz1521 - 2254225 = raiz12964225 = 3665
(3665, 0) e (-3665, 0)
Então, os focos ficam em :

Passo 6

Por fim, para esboçar o gráfico da elipse, plotamos os vértices e , e os focos e . A elipse será alongada ao longo do eixo , com centro na origem.

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos são e . O gráfico da cônica é uma elipse centrada na origem, estendida ao longo do eixo .

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