Obtenha os focos, os vértices e esboce o gráfico da cônica:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os focos, os vértices e esboçar o gráfico da cônica representada pela equação
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das Cônicas. Para resolver, vamos identificar que tipo de cônica é essa, colocar a equação na forma padrão e, a partir daí, determinar os elementos solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar de que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral da cônica é
. No nosso caso, temos
, sem termos de
ou
lineares. Como os coeficientes de
e
são positivos e diferentes, a cônica é uma elipse.
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada na origem é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por 9:
Simplificando, temos:
Então, identificamos que
e
.
Passo 4
Em uma elipse,
representa o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor. Como
, o eixo maior está na direção do eixo
.
Para encontrar os vértices, usamos as coordenadas
:
Passo 5
Para encontrar os focos, precisamos calcular
, onde
:
Então, os focos ficam em
:
Passo 6
Por fim, para esboçar o gráfico da elipse, plotamos os vértices
e
, e os focos
e
. A elipse será alongada ao longo do eixo
, com centro na origem.
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos são
e
. O gráfico da cônica é uma elipse centrada na origem, estendida ao longo do eixo
.