Obtenha os vértices, escreva a equação e esboce o gráfico da elipse, onde: Os focos são
e
e o eixo maior mede 34.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de elipse! Temos dois focos na posição (0, -6) e (0, 6) e o eixo maior da elipse mede 34 unidades. Nosso objetivo é encontrar os vértices da elipse, escrever a equação dela e desenhar o gráfico. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre elipses, como focos, eixos e a fórmula geral da equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a posição dos focos. Os focos da elipse são pontos fixos que ajudam a definir a curva. No nosso caso, eles estão em (0, -6) e (0, 6), o que nos indica que a elipse está alinhada verticalmente no eixo y.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o eixo maior é o maior eixo da elipse, passando pelos dois focos. Sabemos que o comprimento do eixo maior é 34 unidades. Como a distância total entre os extremos do eixo maior é 34, o semi-eixo maior (a) será metade disso:
Passo 4
Em uma elipse, a distância entre os dois focos é igual a 2c, onde c é a distância de cada foco ao centro da elipse. Vamos calcular c:
A distância entre os focos (0, -6) e (0, 6) é 12 unidades. Então:
Passo 5
Agora, sabemos que em uma elipse,
, onde b é o semi-eixo menor. Vamos encontrar b:
Passo 6
Com os valores de a e b, podemos escrever a equação padrão da elipse vertical, que é:
Como o centro da elipse está no meio dos focos, que são (0, -6) e (0, 6), o centro é (0, 0). Substituindo h = 0, k = 0, a = 17 e b =
:
Passo 7
Para encontrar os vértices, usamos que eles estão localizados a uma distância de a do centro ao longo do eixo maior. Como o eixo maior é vertical:
Os vértices são:
Passo 8
Por último, para esboçar o gráfico da elipse, plotamos o centro em (0,0), os vértices em (0,17) e (0,-17), e usamos b =
para determinar a largura ao longo do eixo menor. A elipse será alongada verticalmente com esses pontos principais.
Resposta
Os vértices da elipse são (0, 17) e (0, -17). A equação da elipse é:
O gráfico da elipse é uma curva alongada verticalmente, centrada na origem, com vértices em (0, 17) e (0, -17).