Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados. -4 x^2-16 y^2+z^2-16=0.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para classificar e desenhar uma quádica, que é basicamente uma superfície no espaço definida por uma equação do segundo grau. A equação que vamos trabalhar é:
-4x^2 -16y^2 + z^2 -16=0
Para resolver isso, vamos precisar entender os tipos de quádricas que existem, como identificar qual delas é baseada na equação dada, e também como as interseções com os planos coordenados resultam em cônicas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos:
-4x^2 -16y^2 + z^2 = 16
Agora, vamos colocar os termos com z^2 = 4x^2 + 16y^2 + 16 e do lado direito para facilitar a visualização:

Passo 3

Vamos dividir todos os termos por 16 para simplificar a equação:
z^216 = 4x^216 + 16y^216 + 1616
Simplificando:
z^216 = x^24 + y^2 + 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
z^216 - 1 = x^24 + y^2

Passo 4

Observando a forma da equação, vemos que ela se assemelha à equação padrão de uma hipérbole. A presença de um termo positivo e dois negativos (ou vice-versa) geralmente indica uma hipérbole ou um paraboloide hiperbólico.
Para confirmar, percebemos que a equação pode ser reescrita como:
z^216 - (x^24 + y^2) = 1
Isso segue a forma padrão de uma hipérbole de duas folhas em 3D, ou seja, o Hiperboloide de Duas Folhas.

Passo 5

Agora, vamos esboçar a quádica. Um hiperboloide de duas folhas se parece com duas superfícies curvas que se afastam umas das outras ao longo de um eixo (neste caso, o eixo ). Cada folha da hipérbole é simétrica em relação ao plano .

Passo 6

Vamos analisar as interseções com os planos coordenados:
  • Interseção com o plano -4x^2 -16y^2 -16 = 0 (quando 4x^2 +16y^2 = -16):
    Substituindo -4x^2 + z^2 -16 = 0 na equação original:
    z^2 = 4x^2 + 16
    O que simplifica para:
    z^216 = x^24 + 1
    Isso não tem solução real, ou seja, não há interseção com o plano -16y^2 + z^2 -16 = 0.
  • Interseção com o plano z^2 = 16y^2 + 16 (quando z^216 = y^2 + 1):
    Substituindo :
    Reescrevendo:
    Dividindo por 16:
    Isso representa uma hipérbole no plano .
  • Interseção com o plano (quando ):
    Substituindo :
    Reescrevendo:
    Dividindo por 16:
    Isso também representa uma hipérbole no plano .

Resposta

A quádica é um hiperboloide de duas folhas. As interseções com os planos coordenados resultam em hipérboles nos planos e , sem interseção com o plano .

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