Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados.
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Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para classificar e desenhar uma quádica, que é basicamente uma superfície no espaço definida por uma equação do segundo grau. A equação que vamos trabalhar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender os tipos de quádricas que existem, como identificar qual delas é baseada na equação dada, e também como as interseções com os planos coordenados resultam em cônicas específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos:
Agora, vamos colocar os termos com
e
do lado direito para facilitar a visualização:
Passo 3
Vamos dividir todos os termos por 16 para simplificar a equação:
Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Observando a forma da equação, vemos que ela se assemelha à equação padrão de uma hipérbole. A presença de um termo positivo e dois negativos (ou vice-versa) geralmente indica uma hipérbole ou um paraboloide hiperbólico.
Para confirmar, percebemos que a equação pode ser reescrita como:
Isso segue a forma padrão de uma hipérbole de duas folhas em 3D, ou seja, o Hiperboloide de Duas Folhas.
Passo 5
Agora, vamos esboçar a quádica. Um hiperboloide de duas folhas se parece com duas superfícies curvas que se afastam umas das outras ao longo de um eixo (neste caso, o eixo
). Cada folha da hipérbole é simétrica em relação ao plano
.
Passo 6
Vamos analisar as interseções com os planos coordenados:
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Interseção com o plano
(quando ): Substituindona equação original: O que simplifica para:Isso não tem solução real, ou seja, não há interseção com o plano. -
Interseção com o plano
(quando ): Substituindo: Reescrevendo:Dividindo por 16:Isso representa uma hipérbole no plano. -
Interseção com o plano
(quando ): Substituindo: Reescrevendo:Dividindo por 16:Isso também representa uma hipérbole no plano.
Resposta
A quádica
é um hiperboloide de duas folhas. As interseções com os planos coordenados resultam em hipérboles nos planos
e
, sem interseção com o plano
.