Determine a equação da elipse com centro na origem, foco sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A=(2,2) e B=(2 raiz3, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, com os focos no eixo das abscissas (ou seja, no eixo x), e que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente o conceito de equação da elipse e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma padrão da equação de uma elipse com centro na origem e com os focos no eixo das abscissas:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, c^2 = a^2 - b^2 é o semieixo maior (a “largura” da elipse) e é o semieixo menor (a “altura” da elipse). Além disso, a relação entre , e a distância dos focos é dada por:
Sabemos que a elipse passa pelos pontos e , então podemos substituir essas coordenadas na equação da elipse para obter duas equações com as incógnitas e .

Passo 3

Vamos substituir o ponto 2^2a^2 + 2^2b^2 = 1 Rightarrow 4a^2 + 4b^2 = 1 na equação da elipse:
Essa é a primeira equação que vamos usar.

Passo 4

Agora, substituímos o ponto (2raiz3)^2a^2 + 0^2b^2 = 1 Rightarrow 12a^2 + 0 = 1 Rightarrow 12a^2 = 1 Rightarrow a^2 = 12 Rightarrow a = raiz12 = 2raiz3 na equação da elipse:
Agora já sabemos que .

Passo 5

Com o valor de 412 + 4b^2 = 1 Rightarrow 13 + 4b^2 = 1 Rightarrow 4b^2 = 1 - 13 Rightarrow 4b^2 = 23 Rightarrow b^2 = 4 times 32 = 6 Rightarrow b = raiz6 encontrado, vamos voltar à primeira equação para encontrar :
Então, .

Passo 6

Com x^212 + y^26 = 1 e , podemos escrever a equação da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:
x^212 + y^26 = 1

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