Determine a equação da elipse com centro na origem, foco sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, com os focos no eixo das abscissas (ou seja, no eixo x), e que passa pelos pontos
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente o conceito de equação da elipse e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma padrão da equação de uma elipse com centro na origem e com os focos no eixo das abscissas:
Aqui,
é o semieixo maior (a “largura” da elipse) e
é o semieixo menor (a “altura” da elipse). Além disso, a relação entre
,
e a distância dos focos
é dada por:
Sabemos que a elipse passa pelos pontos
e
, então podemos substituir essas coordenadas na equação da elipse para obter duas equações com as incógnitas
e
.
Passo 3
Vamos substituir o ponto
na equação da elipse:
Essa é a primeira equação que vamos usar.
Passo 4
Agora, substituímos o ponto
na equação da elipse:
Agora já sabemos que
.
Passo 5
Com o valor de
encontrado, vamos voltar à primeira equação para encontrar
:
Então,
.
Passo 6
Com
e
, podemos escrever a equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: