Obtenha os focos, os vértices e esboce o gráfico da cônica:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os focos, os vértices e esboçar o gráfico da cônica dada pela equação
. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, para solucionar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral é
. Para facilitar, vamos rearranjar a equação:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole que abre para cima e para baixo, já que o termo
é positivo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da forma padrão da hipérbole que abre para cima e para baixo:
Comparando com a nossa equação
, vemos que:
Passo 4
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo que a hipérbole abre. Como nossa hipérbole está centrada na origem
e abre para cima e para baixo, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, precisamos calcular
usando a relação:
Substituindo os valores que temos:
Então, os focos estão em:
Passo 6
Agora, para esboçar o gráfico da hipérbole, vamos seguir estes passos:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Desenhe as assíntotas, que para essa hipérbole são linhas que passam pelo centro com inclinação
. Aqui, . Então, as assíntotas são e .
Com essas informações, você pode desenhar a hipérbole abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas conforme se afasta do centro.
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
. Os focos estão em
e
. O gráfico é uma hipérbole centrada na origem, abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas
e
.