Obtenha os focos, os vértices e esboce o gráfico da cônica: 16 x^2-y^2=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os focos, os vértices e esboçar o gráfico da cônica dada pela equação . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, para solucionar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral é 16x^2 - y^2 = -1 implies y^2 - 16x^2 = 1 . Para facilitar, vamos rearranjar a equação:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole que abre para cima e para baixo, já que o termo é positivo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da forma padrão da hipérbole que abre para cima e para baixo:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação a^2 = 1 implies a = 1 , vemos que:
b^2 = 116 implies b = 14

Passo 4

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância (0, pm a) = (0, pm 1) do centro ao longo do eixo que a hipérbole abre. Como nossa hipérbole está centrada na origem e abre para cima e para baixo, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, precisamos calcular c^2 = a^2 + b^2 usando a relação:
c^2 = 1 + 116 = 1716 implies c = raiz174
Substituindo os valores que temos:
(0, pm c) = (0, pm raiz174)
Então, os focos estão em:

Passo 6

Agora, para esboçar o gráfico da hipérbole, vamos seguir estes passos:
  1. Centro:
  2. Vértices: e
  3. Focos: e
  4. Desenhe as assíntotas, que para essa hipérbole são linhas que passam pelo centro com inclinação . Aqui, . Então, as assíntotas são e .
Com essas informações, você pode desenhar a hipérbole abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas conforme se afasta do centro.

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos estão em e . O gráfico é uma hipérbole centrada na origem, abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas e .

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