Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados. x^24+y^24-z^29=1.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício que pede para classificar e desenhar uma quádricas específica: . A matéria envolvida é Geometria Analítica, mais precisamente o estudo das superfícies quádricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o tipo de quádricas e como elas se intersectam com os planos coordenados para obter as cônicas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de quádricas que temos. A equação geral dada é . Observamos que os termos de e são positivos e iguais, enquanto o termo de é negativo. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Agora, vamos analisar as interseções com os planos coordenados para descobrir as cônicas formadas.
Interseção com o plano x^24 + y^24 - 0 = 1 implies x^24 + y^24 = 1 (quando x^24 + 0 - z^29 = 1 implies x^24 - z^29 = 1 ):
Substituindo 0 + y^24 - z^29 = 1 implies y^24 - z^29 = 1 na equação:
Essa é a equação de um círculo com raio , pois .
Interseção com o plano (quando ):
Substituindo na equação:
Essa é a equação de uma hipérbole com eixo real no eixo .
Interseção com o plano (quando ):
Substituindo na equação:
Essa também é a equação de uma hipérbole, mas agora com eixo real no eixo .

Passo 4

Para esboçar a quádricas, sabemos que um hiperboloide de uma folha se parece com uma espécie de “sela” com duas “folhas” simétricas. As interseções com os planos e nos mostram as hipérboles nos respectivos planos, e a interseção com o plano nos dá um círculo que serve como base da estrutura.

Resposta

A quádricas é um hiperboloide de uma folha. Suas interseções com os planos coordenados resultam em:
  • Círculo no plano :
  • Hipérbole no plano :
  • Hipérbole no plano :

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