Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados.
.
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício que pede para classificar e desenhar uma quádricas específica:
. A matéria envolvida é Geometria Analítica, mais precisamente o estudo das superfícies quádricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o tipo de quádricas e como elas se intersectam com os planos coordenados para obter as cônicas resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de quádricas que temos. A equação geral dada é
. Observamos que os termos de
e
são positivos e iguais, enquanto o termo de
é negativo. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Agora, vamos analisar as interseções com os planos coordenados para descobrir as cônicas formadas.
Interseção com o plano
(quando
):
Substituindo na equação:
Substituindo
Essa é a equação de um círculo com raio
, pois
.
Interseção com o plano
(quando
):
Substituindo na equação:
Substituindo
Essa é a equação de uma hipérbole com eixo real no eixo
.
Interseção com o plano
(quando
):
Substituindo na equação:
Substituindo
Essa também é a equação de uma hipérbole, mas agora com eixo real no eixo
.
Passo 4
Para esboçar a quádricas, sabemos que um hiperboloide de uma folha se parece com uma espécie de “sela” com duas “folhas” simétricas. As interseções com os planos
e
nos mostram as hipérboles nos respectivos planos, e a interseção com o plano
nos dá um círculo que serve como base da estrutura.
Resposta
A quádricas
é um hiperboloide de uma folha. Suas interseções com os planos coordenados resultam em:
- Círculo no plano
: - Hipérbole no plano
: - Hipérbole no plano
: