Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados. 9 x^2-9 y^2-z^2-9=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar e esboçar a quadríca . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos as superfícies no espaço tridimensional chamadas quádricas. Para resolver, vamos identificar que tipo de quádricas estamos lidando e depois ver como ela se intersecta com os planos coordenados para descobrir as cônicas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar a identificação da quádricas:
9x^2 - 9y^2 - z^2 = 9
Dividindo todos os termos por 9, temos:
x^2 - y^2 - z^29 = 1
Essa forma padrão nos ajuda a identificar o tipo de quadrica.

Passo 3

Observando a equação , vemos que temos termos quadráticos com sinais diferentes. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas. Um hiperboloide de duas folhas tem duas “superfícies” que se abrem em direções opostas.

Passo 4

Agora, vamos ver como essa quadrica se comporta quando intersectamos com os planos coordenados. Os planos coordenados são:
  • Plano XY ( )
  • Plano XZ ( )
  • Plano YZ ( )
Vamos analisar cada uma dessas interseções.

Passo 5

Interseção com o Plano XY ( 9x^2 - 9y^2 - 0 - 9 = 0 implies 9x^2 - 9y^2 = 9 ):
Substituindo x^2 - y^2 = 1 na equação original:
Dividindo por 9:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano XY.

Passo 6

Interseção com o Plano XZ ( 9x^2 - 0 - z^2 - 9 = 0 implies 9x^2 - z^2 = 9 ):
Substituindo x^2 - z^29 = 1 na equação original:
Dividindo por 9:
Essa também é a equação de uma hipérbole no plano XZ, mas com o eixo na direção do eixo Z alterado pela constante.

Passo 7

Interseção com o Plano YZ ( 0 - 9y^2 - z^2 - 9 = 0 implies -9y^2 - z^2 = 9 ):
Substituindo 9y^2 + z^2 = -9 na equação original:
Multiplicando todos os termos por -1:
Aqui, não há solução real, porque o lado esquerdo é sempre não negativo e não pode ser igual a -9. Portanto, não há interseção com o plano YZ.

Resposta

A quadríca é um hiperboloide de duas folhas. As interseções com os planos coordenados resultam em duas hipérboles, uma no plano XY dada por e outra no plano XZ dada por . Não há interseção com o plano YZ.

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