Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar e desenhar a quádricas
, além de descrever as seções que essa superfície faz quando intersecta os planos coordenados (como
,
e
). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre quadricas e suas interseções com planos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da quádrica para identificar de qual tipo ela se trata. A equação dada é:
Vamos isolar o termo constante:
Agora, podemos dividir todos os termos por 9 para simplificar:
Essa forma nos ajuda a identificar o tipo de quádrica.
Passo 3
Comparando a equação simplificada com as formas padrão das quadricas, vemos que todos os termos têm coeficientes positivos e diferentes. A equação está na forma de uma elipsoide, que é uma versão alongada da esfera. A elipsoide possui três eixos principais com comprimentos diferentes.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a quádrica. A elipsoide
terá raios:
- No eixo
: - No eixo
: - No eixo
:
Isso significa que a elipsoide é alongada no eixo
, estendendo-se de
a
nesse eixo.
Passo 5
Vamos agora analisar as interseções com os planos coordenados:
- Interseção com o plano
(quando ):
Isso é um círculo de raio 1 no plano
.
- Interseção com o plano
(quando ):
Isso é uma elipse no plano
, com semi-eixos de 1 no
e 3 no
.
- Interseção com o plano
(quando ):
Isso também é uma elipse no plano
, com semi-eixos de 1 no
e 3 no
.
Resposta
A quádrica
é uma elipsoide centrada na origem, alongada no eixo
. As seções com os planos coordenados são:
- Plano
: círculo de raio 1. - Plano
: elipse com semi-eixos 1 e 3. - Plano
: elipse com semi-eixos 1 e 3.