Classifique e esboce as quádricas abaixo, descrevendo cada uma das cônicas obtidas da interseção com os planos coordenados. 9 x^2+9 y^2+z^2-9=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar e desenhar a quádricas , além de descrever as seções que essa superfície faz quando intersecta os planos coordenados (como , e ). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre quadricas e suas interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da quádrica para identificar de qual tipo ela se trata. A equação dada é:
9x^2 + 9y^2 + z^2 - 9 = 0
Vamos isolar o termo constante:
9x^2 + 9y^2 + z^2 = 9
Agora, podemos dividir todos os termos por 9 para simplificar:
x^2 + y^2 + z^29 = 1
Essa forma nos ajuda a identificar o tipo de quádrica.

Passo 3

Comparando a equação simplificada com as formas padrão das quadricas, vemos que todos os termos têm coeficientes positivos e diferentes. A equação está na forma de uma elipsoide, que é uma versão alongada da esfera. A elipsoide possui três eixos principais com comprimentos diferentes.

Passo 4

Agora, vamos esboçar a quádrica. A elipsoide terá raios:
  • No eixo :
  • No eixo :
  • No eixo :
Isso significa que a elipsoide é alongada no eixo , estendendo-se de a nesse eixo.

Passo 5

Vamos agora analisar as interseções com os planos coordenados:
  1. Interseção com o plano x^2 + y^2 + 0^29 = 1 implies x^2 + y^2 = 1 (quando x^2 + 0^2 + z^29 = 1 implies x^2 + z^29 = 1 ):
0^2 + y^2 + z^29 = 1 implies y^2 + z^29 = 1
Isso é um círculo de raio 1 no plano .
  1. Interseção com o plano (quando ):
Isso é uma elipse no plano , com semi-eixos de 1 no e 3 no .
  1. Interseção com o plano (quando ):
Isso também é uma elipse no plano , com semi-eixos de 1 no e 3 no .

Resposta

A quádrica é uma elipsoide centrada na origem, alongada no eixo . As seções com os planos coordenados são:
  • Plano : círculo de raio 1.
  • Plano : elipse com semi-eixos 1 e 3.
  • Plano : elipse com semi-eixos 1 e 3.

Exercícios relacionados